gaußscher integralsatz fürs oberflächenintegral

30.01.2012, 14:33	Artey	Auf diesen Beitrag antworten »
gaußscher integralsatz fürs oberflächenintegral Meine Frage: Hallo, ich bin gerade dabei für eine Klausur zu lernen und habe probleme bei der aufgabe. ich finde im internet sonst leider nicht viel dazu, was mit hilft. das hier ist die aufgabe: V(x,y,z)= (y²+z², 2xy, e^xy + 2z) z={(x,y,z)\|x²+y²<=4 , 0<= z <= 4) S ist die Oberfläche des Zylinders z Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \int \!\int \!\int \! (2x+2) \, dx dy dz \end{eqnarray}$ und der übergang zu $\begin{eqnarray} \int_0^(2\pi) \!\int_0^2 \!\int_0^4 \! (4cos(\alpha) +2)r \, dzdrd\alpha \end{eqnarray}$ ich verstehe leider nicht, wieso man hier $\begin{eqnarray} 2cos\alpha \end{eqnarray}$ für x einsetzt der rest ist ja dann nur noch rechnen mfg, artur
30.01.2012, 15:00	Trak	Auf diesen Beitrag antworten »
ich gehe mal davon aus, dass du V*df berechnen willst, der Gaussche Integralsatz sagt dir, dass du bei einer geschlossenen fläche auch das Integral von der Divergenz, über das Volumen nehmen kannst, rechne also doch erstmal die Divergenz... jetzt willst du die Koordinaten, weil es ein Zylinder ist, in Zylinder Koordinaten umwandeln(was sehr hilfreich ist), du musst dann allerdings auch die Ausdrücke für x,y transformieren (was ist x in Zylinderkoordinaten?) und natürlich auch dV, schau dafür am besten, wie du ein kleines Volumen über dr,dphi,dz ausdrücken kannst? dann musst du halt nur noch integrieren
31.01.2012, 13:27	Artey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme leider keinen schritt weiter... könnte mir das jemand vielleicht vorrechnen, damit ich das komplett nachvollziehen kann? wäre super super nett
31.01.2012, 15:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec V(\vec x) \end{eqnarray}$ durch einen Zylinder. Anschaulich ist dies die Stoffmenge, die durch die "durchlässige" Zylinderoberfläche strömt (also der Saldo aus Hinein- und Herausfluss). So ein Oberflächenintergaral kann man mit dem Gaußschen Satz in ein Volumenintegral umwandeln. Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} I=\int \int_{\text{Fläche}} \! \vec V(\vec x) \, d\vec A =\int \int \int_{\text{Volumen}} \! div(\vec V) \, dV \end{eqnarray}$ In deinem Fall ist das Volumenintegral wesentlich einfacher als das Oberflächenintegral, weil die Divergenz hierbei eine sehr einfache Funktion ergibt. Die Divergenz lautet $\begin{eqnarray} div(\vec V)=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = 0 + 2x + 2 = 2(x+1) \end{eqnarray}$ Berechne damit das Volumenintegral, indem du Zylinderkoordinaten einführst. Für x muss man also setzen $\begin{eqnarray} x=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ . Der Radius ist r=2, die Höhe ist z=4. Weiterhin ist bei Zylinderkoordinaten im Integrand die Funktionaldeterminante r als Faktor einzufügen. Zu berechnen ist also $\begin{eqnarray} I=\int_{z=0}^4 \int_{r=0}^2 \int_{\phi=0°}^{360°} \! 2(r\cdot\cos(\phi)+1)\cdot r \, d\phi\,dr\,dz \end{eqnarray}$ Das solltest du ausrechnen können. Und beschäftige dich bitte etwas mehr mit dem Stoff. Das ist eine Standardaufgabe.
31.01.2012, 20:53	Artey	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank! hat sehr geholfen jetzt versteh ich was da gemacht wurde

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »