Rang einer Matrix

30.01.2012, 15:16

jockijo

Rang einer Matrix

Hallo zusammen,
ich hätte bezüglich der Ränge einer Matrix eine Frage und zwar hatten wir da folgende Aufgabe:

Bestimme den Rang der Matrix B mit

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung:
Der Rang einer Matrix ist ja immer kleiner oder gleich dem Minimum aus Zeilen bzw. Spaltenanzahl, hier also ist der Rang der Matrix A: $\begin{eqnarray*} Rg A\leq 3 \end{eqnarray*}$

Also habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} r_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r_{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r_{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; r_{1},r_{2},r_{3}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Folglich existiert eine Lösung $\begin{eqnarray*} (r_{1},r_{2},r_{3}) \end{eqnarray*}$ für die gilt, dass mind. ein r davon ungleich Null ist (z. B. (1,2,-3)).

Folglich sind ALLE Spalten linear abhängig. Da der Rang hier die Anzahl linear unabhängiger Spalten angibt, muss doch der Rang Null sein, weil KEINE Spalte unabhängig ist und folglich der Rang NULL sein muss, aber in der Lösung steht, dass der Rang Eins ist. Ich bin total verwirrt unglücklich

30.01.2012, 15:25

Mazze

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Zitat:

Da der Rang hier die Anzahl linear unabhängiger Spalten angibt, muss doch der Rang Null sein, weil KEINE Spalte unabhängig ist und folglich der Rang NULL sein muss, aber in der Lösung steht, dass der Rang Eins ist. Ich bin total verwirrt

Das ist nicht ganz richtig. Der Rang ist die maximale Anzahl an linear Unabhängigen Spalten/Zeilen. Damit folgt sofort, dass die einzige Matrix mit Rang 0 die 0-Matrix ist. Überlege dir mal warum. Ansonsten sieht man bei deiner Matrix sofort , dass die Matrix Rang 1 hat. Ich kann eine Spalte auswählen, jede weitere Auswahl würde die Menge linear Abhängig machen. Daher kann ich nur eine Spalte auswählen. Damit ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten 1. Damit ist der Rang 1.

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