Weibull-Verteilung - Erwartungswert

30.01.2012, 15:42

ChronoTrigger

Weibull-Verteilung - Erwartungswert

Hallo,

ich würde gerne den Erwartungswert einer speziellen Weibull-verteilten Zufallsvariablen bestimmen.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = 2 \end{eqnarray*}$ Weibull-verteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega , F , P) \end{eqnarray*}$ . Gemäß Vorlesung ist dann eine Riemann-Dichte $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$
von X gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 2\alpha x e^{-\alpha x^2} & x\in (0,\infty) \\ 0& x \in (-\infty, 0] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie E(X)
Hinweis: Partielle Integration

Allerdings komme ich dabei nicht besonders weit:

$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_{\mathbb R} x f(x) dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =2\alpha \int_0^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2} dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt partiell integrieren möchte, brauch ich aber eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-\alpha x^2} \end{eqnarray*}$ , und daran scheiter ich momentan.

Kann mir jemand weiterhelfen? Denn ich seh momentan nicht, wie ich dabei weiterkommen könnte.

danke schonmal im voraus.

30.01.2012, 16:17

Math1986

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RE: Weibull-Verteilung - Erwartungswert
Du hast den falschen Ansatz bei der partiellen Integration:

$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_{\mathbb R} x f(x) dx=-\int_0^{\infty}x\cdot \left(-2\alpha x e^{-\alpha x^2}\right) dx \end{eqnarray*}$
So machst du partielle Integration - die Stammfunktion des geklammerten Ausdruckes solltest du sehen Augenzwinkern

30.01.2012, 16:54

René Gruber

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Wenn ich jetzt partiell integrieren möchte, brauch ich aber eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-\alpha x^2} \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst du nicht wirklich die ganze Stammfunktion, sondern nur das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ über diesen Integranden. Und dazu denk mal an die Normalverteilung: Gibt es da nicht ein ähnliches Problem? Augenzwinkern

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ integriert ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$

bzw. umgestellt und die Geradheit des Integranden nutzend:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} ~ \dd x = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun kann man $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \end{eqnarray*}$ zum gewünschten $\begin{eqnarray*} e^{-\alpha x^2} \end{eqnarray*}$ machen, wenn man nur $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ passend wählt...

30.01.2012, 17:46

ChronoTrigger

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danke euch beiden, das hatte ich nicht gesehen. Ich denke, jetzt hab ich es aber verstanden:

$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_{\mathbb R} x f(x) dx=-\int_0^{\infty}x\cdot \left(-2\alpha x e^{-\alpha x^2}\right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - [x e^{-\alpha x^2}]_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_0^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun René's Hinweis befolge, und $\begin{eqnarray*} \sigma:=\sqrt{\frac{1}{2\alpha}} \end{eqnarray*}$ setze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}} dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{\alpha}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\Gamma(\frac{1+2}{2}) \alpha^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

lässt sich die Varianz auf die gleiche Art (mittels Verschiebungssatz) berechnen? Das werd ich gleich direkt mal versuchen.

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