Integral

30.01.2012, 16:56

Apo

Integral

Meine Frage:
Hallo, ich möchte folgendes Integral gerne berechnen, komme aber nicht auf nen gescheiten lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} cos(x)e^{ax} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hatte gedacht es partiell zu machen mit $\begin{eqnarray*} u(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) = e^{ax} \end{eqnarray*}$ und komme dann auf so etwas hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} - \int_a^b \! \frac{-sin(x)e^{ax}}{a} \, dx \end{eqnarray*}$

aber wie solls nun weiter gehen :O

wäre dankbar für hilfe, gruß Apo

30.01.2012, 16:57

Mulder

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RE: Integral
Nochmal partiell integrieren.

30.01.2012, 17:08

Apo

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Hatte ich auch schon gedacht, aber dann wird das doch hierzu:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} - \frac{1}{a} [ \frac{-sin(x)e^{ax}}{a} - \int_a^b \! \frac{-cos(x)e^{ax}}{a} \, dx ] \end{eqnarray*}$

oder liegt dort mein fehler?

30.01.2012, 17:10

Mulder

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Da ist kein Fehler.

Schreib die Gleichung jetzt mal vollständig hin. Du kannst dann einfach die Gleichung nach dem gesuchten Integral auflösen und das Ergebnis steht da.

30.01.2012, 17:25

Apo

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OK, ich sage mal mein integral = Z

dann würde es $\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} + \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2} - \frac{1}{a^{2} } \int_a^b \! cos(x)e^{ax} \, dx = Z \end{eqnarray*}$
heißen

nun umstellen?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! cos(x)e^{ax} \, dx = ( Z - \frac{cos(x)e^{ax}}{a} - \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2}) * a^2 + C \end{eqnarray*}$

soll das so sein? :o

30.01.2012, 17:28

Mulder

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Ich weiß zwar nicht genau, was das jetzt mit dem Z soll, aber meinetwegen. Dann allerdings auch alles so benennen. Also nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} + \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2} - \frac{1}{a^{2} } \int_a^b \! cos(x)e^{ax} \, dx = Z \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} + \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2} - \frac{1}{a^{2} } Z = Z \end{eqnarray*}$

Löse dann eben nach Z auf...

30.01.2012, 17:47

Apo

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Ach ich depp.. hätte ja heißen sollen:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a} + \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2} = \int_a^b \! cos(x)e^{ax} dx (1 + \frac{1}{a^{2} }) \end{eqnarray*}$

dann sage ich: mal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ (1 + \frac{1}{a^{2} })} \end{eqnarray*}$

und bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}}{a+\frac{1}{a}}+ \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2+1} = \int_a^b \! cos(x)e^{ax} dx \end{eqnarray*}$

30.01.2012, 17:56

Apo

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Hm wenn ich jetzt noch den cos bruch mit a/a erweitert hätte, könnte ich sogar:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)e^{ax}*a}{a^2} + \frac{sin(x)e^{ax}}{a^2} = \int_a^b \! cos(x)e^{ax} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{ax}(a * cos(x)+sin(x))}{a^2+1} \end{eqnarray*}$

schreiben, was dann das endergebnis sein dürfte?

30.01.2012, 18:07

Mulder

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Ja, genau. smile