Vektoren zur Basis des Vektorraums ergänzen |
| 30.01.2012, 17:37 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vektoren zur Basis des Vektorraums ergänzen Habe schon die Suche benutzt, aber so eine Aufgabe leider nicht gefunden: Ergänzen sie die folgenden Vektoren zu einer Basis des Vektorraums R^3. (?,1,1) , (?,1,0) , (1,2,?) Man muss ja zwei Bedingungen erfüllen. 1. Erzeugnis der Vektoren bzw. Jeder Vektor kann als linearkombination dargestellt werden. 2. Die Vektoren müssen linear unabhängig sein. Aber ich weiß nicht, wie ich dann vorgehen muss. Wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand zeigen würde. Danke schonmal im Voraus Gruß Fabian |
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| 30.01.2012, 17:59 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Vektoren zur Basis des Vektorraums ergänzen Hier ist schon fast schwer, keine vollständige Lösung anzugeben. Wähle einmal einen beliebigen fehlenden Eintrag in einem beliebigen Vektor und setze ihn =0. |
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| 31.01.2012, 23:01 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Einfach eine Koordinate eines Vektors frei wählen oder wie meinst du das? Also z.B. (1,1,1) und den =0 setzen? Was bringt das? Oder verstehe ich da was falsch? :/ |
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| 31.01.2012, 23:05 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, du wählst dir von den drei Einträgen der verschiedenen Vektoren die fehlen einen aus und setzt ihn (den auserwählten) =0. Einen Vektor der nicht 0 ist ist nicht =0, da kann man nichts dran drehen. Du sollst den fehlenden Eintrag eines beliebigen gegebenen Vektors =0 setzen. |
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| 31.01.2012, 23:12 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verstehe leider immer noch nicht =/ Die fehlende Koordinate des Vektors =0 setzen? |
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| 31.01.2012, 23:20 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast oben drei Vektoren gegeben, bei jedem fehlt eine Koordinate, richtig? Nun wähle einen Vektor aus und setze die fehlende Koordinate =0. Wähle also für die fehlende Koordinate eine 0 aus. So schwer kann das doch nicht sein...... |
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| 31.01.2012, 23:21 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig |
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| 31.01.2012, 23:22 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lies auch den Edit.... |
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| 31.01.2012, 23:23 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja das ist mir klar, aber was mach ich mit den anderen beiden vektoren dann? Und warum einfach =0 setzen? |
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| 31.01.2012, 23:32 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du die erste Komponente des Vektors (?,1,1) 0 setzt, dann ist jedes Paar von Vektoren, das diesen Vektor enthält schon mal linear unabhängig, wie man leicht sehen kann, egal, wie du den fehlenden Eintrag des anderen Vektors dieses Paares wählst. |
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| 31.01.2012, 23:39 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, das leuchtet mir ein. Dann habe ich linear unabhängige Vektoren. Das wars schon? oO |
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| 01.02.2012, 11:25 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, alle drei Vektoren müssen noch nicht linear unabhängig sein, lediglich ein beliebiges Paar, das den ersten Vektor enthält ist lu. Wie könntest du nun den Eintrag in dem zweiten Vektor wählen, so dass auch jedes Paar mit diesem Vektor lu ist? |
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| 01.02.2012, 23:06 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, (1,1,0) ? |
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| 01.02.2012, 23:15 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zum Beispiel. |
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| 01.02.2012, 23:24 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und den dritten? (1.2,0) ? Aber ich kann das ja nicht einfach so eintragen. Muss das ja quasi auch beweisen. Und das mit dem Erzeugnis verstehe ich iwie nicht... |
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| 01.02.2012, 23:32 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, so dass jeder Vektor des IR³ als Linearkombination der in der Menge enthaltenen Vektoren dargestellt werden kann. Nun betrachte einmal eine Linearkombi aus den drei Vektoren, kannst du jeden Vektor aus dem IR³ so darstellen? |
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| 01.02.2012, 23:48 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achsoo...So? a (0,1,1) + b (1.1.0) + c (1,2,0) = (x,y,z) und a,b,c ungleich 0 ? Und (x,y,z) ist ein beliebiger vektor aus dem r^3 wenn das erfüllt ist ist die lösung richtig ?! |
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| 01.02.2012, 23:49 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jap, es muss aber für alle Vektoren (x,y,z) gelten und nicht nur für einen beliebigen oder eine Anzahl beliebiger Vektoren. |
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| 01.02.2012, 23:54 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm ich kann es ja mit ein paar vektoren ausprobieren, aber wie zeige ich es, dass es für alle gilt ? |
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| 02.02.2012, 00:02 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Argumentieren..... Es ist doch Damit ist doch schon fast alles gezeigt. Wenn man darf kann man auch benutzen, dass drei linear unabhängige Vektoren einen dreidimensionalen Raum aufspannen. Oder man nimmt die Einheitsbasis und zeigt, dass jeder Basisvektor der Einheitsbasis als nichttriviale Linearkombi dargestellt werden kann. Je nachdem, was amn benutzen darf ist das ganze mehr oder weniger trivial. |
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| 02.02.2012, 00:15 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, mit dem Spatprodukt geht es ja auch, wenn es ungleich 0 ist. Also ich fasse nochmal zusammen. Ich wähle die Variablen so, dass die Vektoren linear unabhängig sind. (Beweis: Spatprodukt ungleich 0) Und dann zeige ich mit nem LGS, dass die Vektoren ein Erzeugnis des Vektorraumes sind bzw jeder beliebige Vektor als linearkombination der 3 Vektoren dargestellt werden kann. In diesem Fall wäre eine mögliche Lösung (0,1,1) (1,1,0) (1,2,0) Ist das so richtig ? Vielen Dank für die Hilfe! |
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| 02.02.2012, 00:24 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jap 
Anstelle des Spatprodukts würde ich vielleicht die Determinante der Matrix nehmen, deren Zeilen gerade die Vektoren sind, das ist äquivalent zueinander und meines erachtens einfacher zu berechnen. |
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| 02.02.2012, 00:32 | Fabian1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles Klar, danke! Schreibe am Freitag die Mathe I Klausur und das war mir noch unklar. 
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| 02.02.2012, 00:33 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na dann, viel Erfolg. Wenn du noch Fragen hast, jederzeit gerne wieder. 
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