Beweis per Taylorreihe? |
| 30.01.2012, 18:14 | togel | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis per Taylorreihe? Die Funktion f sei auf R beliebig oft differenzierbar und in keiner Umgebung von x0 = 0 identisch Null. Für eine Folge (Xn)n?N mit Xn ungleich 0 für alle n?N und Xn--(n->unendl.)--> 0 gelte f(Xn) = 0 für alle n?N. Beweisen Sie, dass die Taylorreihe von f bezüglich x0 = 0 für alle x 2 R konvergiert, jedoch in keiner Umgebung von x0 = 0 die Funktion f darstellt. Meine Ideen: Hey, Ich verzweifle grad an dieser Aufgabe :°( Ich hab versucht das ganze über die Potenzreihengesetze, also vor allem den Konvergenzradius zu lösen. Die zu untersuchende Folge ist ja dann f^(0)/n!. um den konvergenzradius zu bestimmen wollte ich diese Folge gegen unendl. laufen lassen. Da könnte ich ja für f(0) f(Xn) einsetzen. Blöd ist nur dass mir das ja eigentlich gar nichts bringt, schließlich kann ich ja nicht davon ausgehen, dass jede Ableitung an der Xn gleich null ist!? Könnt ihr mir helfen? |
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| 30.01.2012, 19:09 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zeige, dass jede Ableitung an der Stelle 0 verschwindet. Dann ist die Taylor-Reihe einfach 0 und trivialerweise konvergent. Aber wegen der Vorraussetzung, dass f in keiner Umgebung identisch 0 ist, stellt die Taylorreihe natürlich nirgends f dar. Ein Tipp dazu: Folgere aus der Vorraussetzung - dass es eine Nullfolge mit gibt - 2 Dinge: 1. 2. Es gibt eine Nullfolge mit Damit hat genau die gleichen Vorraussetzungen wie . Also ist man vermöge Induktion schon fertig. Edit: Es reicht sogar nur 2. zu zeigen. Dass dann alle Ableitungen an der Stelle 0 verschwinden, erhält man dann wegen der unendlichen Differenzierbarkeit, denn somit sind alle Ableitungen insbesondere stetig. |
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| 30.01.2012, 19:32 | togel | Auf diesen Beitrag antworten » |
wow, das ging schnell! Dankeschön, auf den Ansatz wär ich so schnell nicht gekommen 
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