e durch pi darstellen

31.01.2012, 11:48

Maditat2

e durch pi darstellen

Meine Frage:
Gibt es eine Möglichkeit, e durch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ darzustellen?

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n} \sqrt{n} e^{-n}} = \sqrt{2\pi } \end{eqnarray*}$

Aber da muss ich ja irgendwie hinkommen.

Meine Ideen:
?

31.01.2012, 12:03

Leopold

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Es gibt viele Formeln, die $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ miteinander verbinden. Sie gehen aber entweder den Weg übers Komplexe oder sind mit analytischen Prozessen verbunden, etwa Limesbeziehungen wie hier bei der Stirlingschen Formel oder Integrationen. Wenn du eine einfache rein-reelle Beziehung suchst, etwa mit Hilfe eines nichttrivialen Polynomes $\begin{eqnarray*} Q(x,y) \in \mathbb{Z}[x,y] \end{eqnarray*}$ eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} Q(\operatorname{e},\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

dann dürfte so etwas nicht existieren. Ich bin aber überfragt, ob man weiß, daß es so etwas nicht geben kann, oder ob eine solche Darstellung prinzipiell möglich und nur noch nicht gefunden ist.

31.01.2012, 12:42

gonnabphd

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@Leopold: Wikipedia meint dazu:

Zitat:

It is also unknown whether $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ are algebraically independent, although Yuri Nesterenko proved the algebraic independence of $\begin{eqnarray*} \{\pi,\, e^\pi, \,\Gamma(1/4)\} \end{eqnarray*}$ in 1996.

Wikipedia-Eintrag

Auch relevant dies.

Allerdings weiss ich nichts über dieses Gebiet, hab's nur eben kurz gesucht.

31.01.2012, 12:52

galoisseinbruder

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Ich hege eher den Verdacht dass der Threadersteller nach einer Möglichkeit sucht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n} \sqrt{n} e^{-n}} = \sqrt{2\pi } \end{eqnarray*}$

also die Stirling-Formel, zu beweisen.

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