Term umformen - komplexe Zahlen

31.01.2012, 13:34

MaxxB

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Term umformen - komplexe Zahlen

Meine Frage:
Ich habe einen Ansatz zum Umstellen des folgenden Terms gemacht:

$\begin{eqnarray*} Z(Z*-1)=9+3i \end{eqnarray*}$

(Z* = a-bi)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Z=\frac{10a^{2}+12abi-2b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$

hier komme ich nicht weiter und ich bin mir auch nicht sicher ob der Ansatz richtig ist.

Für ein paar helfende Worte im Voraus vielen Dank.

31.01.2012, 13:59

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von MaxxB
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Z=\frac{10a^{2}+12abi-2b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$

Wie soll man das verstehen? Ich dachte, es ist Z = a + b*i ?

31.01.2012, 14:13

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Im ursprünglichen Term ist Z* die konjugiert komplexe Form von Z. (Z*=a-bi)

Leider habe ich im Formeleditor keinen Überstrich gefunden.

Der Term lautet Äquivalent:

$\begin{eqnarray*} ((a+bi)*(a-bi))-Z=9+3i \end{eqnarray*}$

31.01.2012, 15:03

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von MaxxB
Leider habe ich im Formeleditor keinen Überstrich gefunden.

Der geht so: \overline{Z} ergibt $\begin{eqnarray*} \overline{Z} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MaxxB
$\begin{eqnarray*} ((a+bi)*(a-bi))-Z=9+3i \end{eqnarray*}$

OK. Jetzt ersetze noch das übrige Z mit a+b*i, multipliziere die Klammern aus und vergleiche Real- und Imaginärteil.

31.01.2012, 15:17

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Vielen Dank für den Überstrich. Ich multipiziere wie folgt

a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}-a+b*i=9+3*i

daraus folgt:

a^{2)+b^{2}-a+b*i=9+3*i

Mir ist der nächste Schritt (vergleichen) nicht klar. Was ist dabei zu tun?

01.02.2012, 11:43

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Ich würde folgenden Lösungsansatz für den Vergleich Re/Im ansetzen:

Realteil:

a*^{2}-a+b^{2} = 9

a*^{2}-a+9-a^{2}+a = 9

Realteil = 1

Im:

-b*i = 3*i

Imaginärteil = -3*i

Wie komme ich nun auf die zweite Lösung? Für einen Tip im Voraus Danke.

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02.02.2012, 08:25

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von MaxxB
Ich multipiziere wie folgt

a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}-a+b*i=9+3*i

daraus folgt:

a^{2)+b^{2}-a+b*i=9+3*i

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 - a - b*i = 9 + 3*i \end{eqnarray*}$
Das kommt davon, wenn man keine Klammern setzt.

Zitat:

Original von MaxxB
Realteil:

a*^{2}-a+b^{2} = 9

a*^{2}-a+9-a^{2}+a = 9

Ich weiß jetzt nicht, was du mit dem "*" ausdrücken willst und wie du von der oberen (richtigen) Zeile zur unteren Zeile gekommen bist.

Zitat:

Original von MaxxB
Im:

-b*i = 3*i

Imaginärteil = -3*i

Wenn -b*i = 3*i ist, was muß dann b sein?

Zitat:

Original von MaxxB
Wie komme ich nun auf die zweite Lösung? Für einen Tip im Voraus Danke.

Wie sieht denn jetzt die erste Lösung aus?

02.02.2012, 10:27

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Guten Morgen und herzlichen Dank für die Ausführung. Mein Rechenweg ist wie folgt:

$\begin{eqnarray*} a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}-(a+b*i)=9+3*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a-b*i=9+3*i \end{eqnarray*}$ (natürlich -b*i, kleiner Patzer beim abschreiben, sorry)

Vergleich Re:

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a=9 \end{eqnarray*}$

für b^{2} einsetzen (9-a^{2}+a)

$\begin{eqnarray*} a^{2}-a+(9-a^{2}+a)=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9=9 \Rightarrow Re = 1 \end{eqnarray*}$

Vergleich Im:

$\begin{eqnarray*} -b*i=3*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b*i=-3*i \end{eqnarray*}$

Im = -3*i

Ist der Weg soweit richtig? Ich würde eine zweite Lösung vermuten, leider habe ich keine Idee wie ich diese ermitteln kann.

02.02.2012, 11:37

lepton

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
$\begin{eqnarray*} a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}-(a+b*i)=9+3*i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow{} a^2 - b^2 - a - bi = 9 + 3i \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} Re(a^2 - b^2 - a - bi) = a^2 - b^2 - a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Re(9 + 3i) = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Im(a^2 - b^2 - a - bi) = -b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Im(9 + 3i) = 3 \end{eqnarray*}$

Den Rest überlass ich an dieser Stelle nun Dir.

Ein komplexe Zahl ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} z := a + bi, \ mit \ a, b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Dabei bezeichnet a den Realanteil und b den Imaginäranteil. Wenn Du den Imginäranteil betrachtest gehört das i also nicht mehr dazu: ;-)
$\begin{eqnarray*} Im(z) = Im(a+bi) = b \end{eqnarray*}$

Zudem, wenn Du eine Gleichung der Form
$\begin{eqnarray*} a + b = c \end{eqnarray*}$
hast und diese nach a umformst und die rechte Seite wieder in a einsetzt - kommt nach konstruktion >immer< eine wahre Aussage raus, also 0 = 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.02.2012, 11:42

Steffen Bühler

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von lepton
$\begin{eqnarray*} Re(9 + 3i) = 3 \end{eqnarray*}$

Wenn Du Dich schon einmischen mußt...

$\begin{eqnarray*} Re(9 + 3i) = 9 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

02.02.2012, 12:14

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von MaxxB
Vergleich Re:

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a=9 \end{eqnarray*}$

für b^{2} einsetzen (9-a^{2}+a)

$\begin{eqnarray*} a^{2}-a+(9-a^{2}+a)=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9=9 \Rightarrow Re = 1 \end{eqnarray*}$

Hier setzt du eine Gleichung in sich selber ein oder wie bist du sonst auf das b² gekommen. Logischerweise bekommst du dann eine wahre Aussage (9=9), woraus du aber nicht folgern kannst, daß a = 1 ist.

Das b bekommst du aus:

Zitat:

Original von MaxxB
Vergleich Im:

$\begin{eqnarray*} -b*i=3*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b*i=-3*i \end{eqnarray*}$

Du mußt eben diese Gleichung nach b auflösen.

02.02.2012, 13:55

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Vielen Dank für die Anregungen.

Im(9+3i) = -3

Den aufgezeigten Lösungsweg habe ich verstanden.

Re(9+3i) = 9 leider nicht.

Eine gesuchte komplexe Zahl sollte lauten (1-3i)

Diese komplexe Zahl in die ursprüngliche Gleichung $\begin{eqnarray*} Z*(\overline{Z} -1)=9+3i \end{eqnarray*}$ eingesetzt

$\begin{eqnarray*} (1-3*i)*(1+3*i)-(1-3*i)=9+3*i \end{eqnarray*}$

und ausmultipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} 9+3*i = 9+3*i \end{eqnarray*}$

Ich würde gern den Lösungsweg verstehen. Wie komme ich von $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a-b*i = 9+3*i \end{eqnarray*}$ zur Lösung von Re(9+3i)=?.

02.02.2012, 14:35

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Nochmal zum Mitlesen: 2 komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind.

Was ist jetzt der Imaginärteil von (a² + b² - a - b*i) bzw. von 9+3*i ?

02.02.2012, 15:19

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Ich glaub wir reden aneinander vorbei oder ich verstehe nicht was die Botschaft ist. Zwei Zahlen sind gleich wenn Real- und Imaginärteil gleich sind. (z.B. 9+3i = 9+3i) OK.

Die Aufgabenstellung lautet : Welche komplexe Zahl "Z" löst die folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} Z*(\overline{Z}-1)=9+3i \end{eqnarray*}$

Die Lösung für den Imaginärteil ist

$\begin{eqnarray*} -b*i = -3*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = -3 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Mir fehlt noch der richtige Gedanke um rechnerisch auf den Realteil der gesuchten komplexen Zahl (1-3*i) zu kommen.

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a = 9 \end{eqnarray*}$

Über eine 1. - 2. - 3. "Gehhilfe" würde ich mich sehr freuen. Danke.

02.02.2012, 15:22

Nubler

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b einfach mal einsetzen?

02.02.2012, 15:24

René Gruber

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Vermutlich hast du inzwischen zu lange draufgestarrt: Setz doch einfach das erhaltene $\begin{eqnarray*} b=-3 \end{eqnarray*}$ in die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a = 9 \end{eqnarray*}$ ein, es verbleibt mit dem dann vereinfachten

$\begin{eqnarray*} a^2-a=0 \end{eqnarray*}$

eine simple quadratische Gleichung mit zwei möglichen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Lösungen.

02.02.2012, 15:46

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen

Zitat:

Original von MaxxB
Ich glaub wir reden aneinander vorbei oder ich verstehe nicht was die Botschaft ist. Zwei Zahlen sind gleich wenn Real- und Imaginärteil gleich sind. (z.B. 9+3i = 9+3i) OK.

Wir reden nicht aneinander vorbei. Du bist nur offensichtlich nicht in der Lage, meine Fragen zu beantworten.

Betrachten wir nochmal die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a-b*i = 9+3*i \end{eqnarray*}$ .
Da steht links und rechts eine komplexe Zahl.
Jetzt nenne mir mal Real- und Imaginärteil von der komplexen Zahl auf der rechten Seite.

02.02.2012, 15:48

MaxxB

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Super Leute, vielen Dank für eure Geduld und Ausdauer.

Lösung 1: -3i
Lösung 2: 1-3i

Sorry! Das tut weh. Sozusagen vor lauter Bäume ..... Freude

Freude

02.02.2012, 15:54

klarsoweit

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Die Lösung stimmt, aber ehrlich gesagt, bin ich mir nicht sicher, ob du das Verfahren wirklich verstanden hast.

02.02.2012, 16:12

MMB

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Mal schauen ob es jetzt klappt:

Deine Frage (klarsoweit): komplexe Zahl rechte Seite (9+3i)

Re(9+3i)=9
Im(9+3i)=3

(Im Koordinatensystem x=9, y=3)

02.02.2012, 22:29

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Wenn du mit MaxxB identisch bist, wäre das ein Erfolg.
Jetzt das ganze nochmal mit der linken Seite von $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a-b*i = 9+3*i \end{eqnarray*}$ .

03.02.2012, 10:30

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Guten Morgen klarsoweit. Für dein Interesse und Engagement herzlichen Dank. Die komplexe Zahl auf der linken Seite lautet wie folgt:

Im(9+3i)

$\begin{eqnarray*} -b*i=3*i \Rightarrow b=-3*i/i \Rightarrow b=-3 \end{eqnarray*}$

Re(9-3i) (-3 in b einsetzen)

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}-a=9 \Rightarrow a^{2}+(-3^{2})-a=9 \Rightarrow a^{2}-a=9-(-3^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}-a=0 \end{eqnarray*}$

Für a kommt als Lösung nur 0 und 1 in Frage.

$\begin{eqnarray*} 1^{2}-1=0<br /> <br /> oder<br /> <br /> 0^{2}-0=0 \end{eqnarray*}$

Die gesuchte komplexe Zahl lautet daher:

Z1=-3i und Z2=1-3i

03.02.2012, 11:59

klarsoweit

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
OK, so langsam wird ein Schuh draus. Nur hier:

Zitat:

Original von MaxxB
Im(9+3i)

$\begin{eqnarray*} -b*i=3*i \Rightarrow b=-3*i/i \Rightarrow b=-3 \end{eqnarray*}$

machst du für meine Begriffe eine Schleife zu viel.

Es ist Im(9+3i) = 3 und $\begin{eqnarray*} Im(a^2+b^2-a-b*i) = -b \end{eqnarray*}$ , was dann sofort zu 3 = -b bzw. b=-3 führt.

04.02.2012, 09:53

MaxxB

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RE: Term umformen - komplexe Zahlen
Guten Morgen klarsoweit.

OK, diese Ausführung ist direkter. Danke für deine zusätzlichen Gedanken.

Bis zum nächsten mal.

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