Isomorphie von Faktorringen

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carlf Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie von Faktorringen
Folgende wahr/falsch-Aussage gilt es zu beurteilen:

Für jeden Körper sind und zueinander isomorph.
-------------

Bisher habe ich versucht, einen Körper zu finden, über dem eines der Polynome reduzibel ist, das andere aber nicht. Gibt es einen solchen, dann wäre eines der Ideal ein maximales Ideal (und ein Primideal) und der Faktorring damit ein Körper, das andere Ideal wäre nicht maximal (und kein Primideal) und der Faktorring auch kein Körper.
In dem Fall, so er denn existiert, könnten die beiden Faktorringe also jedenfalls nicht isomorph sein, und ich hätte ein Gegenbeispiel.

In sind die Nullstellen der Polynome -3 und -4 bzw. -2 und -3, also sind beide Polynome über reduzibel. Da die Primteiler von 12 auch alle Primteiler von 6 sind,
komme ich auch mit endlichen Körpern nicht weiter, auch dort sind beide Polynome reduzibel. (Über trivialerweise sogar gleich.)

Falls die Aussage tatsächlich für alle Körper K wahr ist, hilft der Ansatz natürlich nicht weiter...
Aber wie ich da heran gehen soll, weiß ich nicht wirklich.

Gibt es vielleicht ein "allgemeines Prinzip", wie man entscheiden kann, ob zwei Faktorringe (oder im Speziellen Faktorringe von Polynomringen) isomorph zueinander sind oder nicht?
Hängt es mit dem Grad der Polynome zusammen oder mit gemeinsamen Teilern?

Irgendwie finde ich hier den Wald nicht...

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie von Faktorringen
hallo carlf,
deine überlegungen sind insoweit alle richtig, ich habe auch den starken verdacht, dass die beiden faktorringe isomorph zueinander sind, und ich
vermute, dass das daran liegt, das die beiden polynome die gleiche gradzahl
und die gleiche anzahl von nullstellen in jeden körper haben.
gruss ollie3
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Polynome zerfallen in allen Körpern. Du kannst für die Polynome jeweils eine Linearfaktorzerlegung angeben. Daran kann man die, den Iso induzierende Abb.
relativ schnell sehen.
carlf Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Die Abbildung muss ja den Kern haben, das heißt für ein Polynom erfüllen.
Wegen und wird das von erfüllt.

Dass mit der Definition ein Automorphismus von ist, ist offensichtlich.

Was mir noch nicht ganz klar ist: Warum zerfallen beide Polynome in allen Körpern?
Genügt es, dass die Nullstellen (in ) ganzzahlig sind, das heißt auch im Primkörper jedes Körpers liegen, also die Faktoren von und über jedem Körper existieren (mit hat jeder Körper die Elemente 2, 3 und 4, auch wenn sie ggf. mit anderen (hier: 0 oder 1) zusammenfallen)?

Danke, galoisseinbruder, für Deinen Tipp mit der induzierenden Abbildung.
Kann man das allgemein für solche Faktorringe machen, oder kommt man bei geschickt gewählten Polynomen nicht weiter mit der Methode?
Bzw. anders formuliert: Kann man mit demselben oder einem ähnlichen Weg auch die Nicht-Isomorphie zeigen oder ein Kriterium formulieren?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genügt es, dass die Nullstellen (in ) ganzzahlig sind, das heißt auch im Primkörper jedes Körpers liegen, also die Faktoren von und über jedem Körper existieren (mit hat jeder Körper die Elemente 2, 3 und 4, auch wenn sie ggf. mit anderen (hier: 0 oder 1) zusammenfallen)?

Zu (fast) allem hier ein klares ja. Das einzige ist dass die einbettung in die komplexen Zahlen unnötig ist. Es reicht das die Lösungen ganzzahlig sind. ( ist im algebraischen Kontext etwas ungut du analytisch konstruiert)

Zitat:
Kann man das allgemein für solche Faktorringe machen, oder kommt man bei geschickt gewählten Polynomen nicht weiter mit der Methode? Bzw. anders formuliert: Kann man mit demselben oder einem ähnlichen Weg auch die Nicht-Isomorphie zeigen oder ein Kriterium formulieren?

Man sollte bei Faktorringen immer mit induzierten Abbildungen arbeiten, erspart einem Wohldefiniertheits-Gedöns. Die Nicht-Isomorphie ist schwieriger. Nur weil man keinen Iso findet heißt es noch lange nicht das es keinen gibt, da kann man bei solch Ringen manchmal über Idempotente Elemente was machen. Und man kann diesen Iso. wohl für einige zerfallende Polynome ausbauen, wobei mir nicht ganz klar ist was du genau mit "solchen faktorringen" meinst.
carlf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu (fast) allem hier ein klares ja. Das einzige ist dass die einbettung in die komplexen Zahlen unnötig ist. Es reicht das die Lösungen ganzzahlig sind. ( ist im algebraischen Kontext etwas ungut du analytisch konstruiert)

Okay, also lieber statt benutzen, in dem Argument, dass alle Nullstellen ganzzahlig sind?
Oder ist "ganzzahlig" (eben da jedes n = 1 + ... + 1 in jedem Körper enthalten ist) sowieso für alle Körper wohldefiniert?

Zitat:
Und man kann diesen Iso. wohl für einige zerfallende Polynome ausbauen, wobei mir nicht ganz klar ist was du genau mit "solchen faktorringen" meinst.

Mit "solchen Faktorringen" meinte ich Ringe des Typs/der Form für ein Polynom f über K bzw. etwas allgemeiner für Polynome .
Die Frage nach möglichen Verallgemeinerungen zielte vor allem darauf ab, welche Aussagen man bei nicht-ganzzahligen Nullstellen treffen kann.
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
eben da jedes n = 1 + ... + 1 in jedem Körper enthalten ist

Mit dieser Def. kriegt man einen Hom. von in jeden Ring R mit 1. Damit kann man die Charakteristik von R definieren, nämlich als den nicht-negativen Erzeuger d3es Kerns dieses Homs.

Zitat:
Mit "solchen Faktorringen" meinte ich Ringe des Typs/der Form für ein Polynom f über K bzw. etwas allgemeiner für Polynome .

Dann: nein. z.B. ist jede endliche Körpererweiterung von K isomorph zu einem und das sollte sollte zeigen, dass man es hier mit sehr vielen verschiedenen Objekten zu tun hat - und die Galois-theorie zieht man auch nicht ohne Grund auf.
carlf Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Mir fällt gerade noch mehr dazu auf. Weiß nicht, ob das alles richtig ist, das Resultat sieht irgendwie merkwürdig aus.

Der Ring k[X] / (x^2 + 5x + 6) ist nach dem chinesischen Restsatz isomorph zu
dem direkten Produkt von k[X] / (x+2) und k[X] / (x+3), denn (x+2) und (x+3) sind in jedem Körper teilerfremd (2 = 3 kann in keinem Körper gelten).
k[X] / (x+2) ist isomorph zu k(-2), da k aber schon -2 enthält sogar zu k selbst.
Analog ist k[X] / (x+3) isomorph zu k.

Insgesamt ist also k[X] / (x^2 + 5x + 6) zu k^2 isomorph (als Ringe).
Analog gilt das für k[X] / (x^2 + 7x + 12) und k^2, da auch (x+3) und (x+4) teilerfremde Ideale sind.
Insbesondere sind die beiden zu betrachtenden Faktorringe isomorph zueinander.

Ganz allgemein sind also Faktorringe k[X] / (f), für die das Polynom f (vom Grad n) über k in paarweise verschiedene Linearfaktoren (x - a_1), ... (x - a_n) zerfällt (dann sind die von den Linearfaktoren erzeugten Hauptideale auch paarweise teilerfremd, da a_i - a_j nicht 0 ist für verschiedene i, j) schon isomorph zu k^n.

Oder anders ausgedrückt: Ist f separabel und k selbst der Zerfällungskörper von f, dann ist k[X] / (f) isomorph zu k^(deg (f)).

Stimmt das so, oder ist in einer der beiden Argumentationen ein Fehler versteckt?
Was ich mir vorstellen könnte: Aus der Isomorphie von k[X] / (x - a_i) und k(a_i) als Körper und der von k[X] / (x - a_1)...(x - a_n) und dem direkten Produkt der k[X] / (x - a_i) als Ringe folgt vielleicht nicht sofort die (Ring-)Isomorphie von k[X] / (x - a_1)...(x - a_n) und dem direkten Produkt der k(a_i).

Ich wäre sehr dankbar für einen Hinweis auf den Fehler in der Argumentation oder ggf. die Bestätigung, dass es keinen gibt.

---
Entschuldigt bitte, dass ich keinen LaTeX-Code benutze, aber da die Umwandlung des Codes in Bilder im Moment nicht funktioniert wäre es sonst bloß noch unlesbarer...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt das so, oder ist in einer der beiden Argumentationen ein Fehler versteckt?

Stimmt.
carlf Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke! :-)
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