Untergruppe

31.01.2012, 18:55

Juppie

Untergruppe

Hallöchen,

ich habe noch eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, ob meine Lösung stimmt:

Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} U \leq G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe und $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} V=\left\{ g^{-1}ug | u \in U\right\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G ist.

Lösung:

Ich benutze das Untergruppenkriterium, dass besagt, dass $\begin{eqnarray*} U \leq G \Leftrightarrow a*b^{-1} \in U; a,b \in U \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a= g^{-1}ug \in V; u \in U; g \in G \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} b= h^{-1}vh \in V; v \in U; h \in G \end{eqnarray*}$

Ist es hier richtig u unv v zu nehmen, oder könnte man auch beide Male u nehmen?

$\begin{eqnarray*} ab^{-1}=g^{-1}ug(h^{-1}vh)^{-1}=g^{-1}ughv^{-1}h^{-1} \end{eqnarray*}$

naja hier stecke ich nun und weiß nicht, wie es weiter geht...

Danke schonmal für einen Tipp.

Juppie

31.01.2012, 19:10

grübeldrache

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Hallo,

da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist, ist deine Umformung falsch.

Richtig ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}ug(h^{-1}vh)^{-1}=g^{-1}ugh^{-1}v^{-1}h \end{eqnarray*}$

Ciao,

grübeldrache

31.01.2012, 19:13

Mulder

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Das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist doch fest. D.h. zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wären eher so:

$\begin{eqnarray*} v_1 = g^{-1}ag \quad , \quad v_2 = g^{-1}bg \quad , \quad a,b \in U \end{eqnarray*}$

Nun guck dir $\begin{eqnarray*} v_1 * v_2^{-1} \end{eqnarray*}$ an.

31.01.2012, 19:47

Juppie

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Danke für die Antworten

@Grübeldrache:

In meinem Skript steht, wenn G eine Gruppe ist (muss nicht abelsch sein) dann ist $\begin{eqnarray*} (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1} \end{eqnarray*}$ deshalb muss man es doch gerade umdrehen wenns nicht abelsch ist

Also $\begin{eqnarray*} <br /> v=g^{-1}ag, w=g^{-1}bg, a,b \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^{-1}=gb^{-1}g^{-1} \end{eqnarray*}$
stimmt doch oder?

31.01.2012, 19:52

Juppie

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Dann wären $\begin{eqnarray*} vw^{-1}= g^{-1}aggb^{-1}g^{-1} \end{eqnarray*}$
und ich hänge schon wieder...
ich darf das ja nicht einfach umdrehen, weil ja eben nicht abelsch

31.01.2012, 20:02

grübeldrache

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Hallo nochmal,

Zitat:

Original von Juppie
In meinem Skript steht, wenn G eine Gruppe ist (muss nicht abelsch sein) dann ist $\begin{eqnarray*} (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1} \end{eqnarray*}$ deshalb muss man es doch gerade umdrehen wenns nicht abelsch ist

Das ist sehr unlogisch, was du da geschrieben hast. Da muss man gar nichts umdrehen. Das, was in deinem Skript steht, gilt für JEDE Gruppe, egal ob abelsch oder nicht!
Aber wenn sie abelsch ist, dann darf man die Gruppenelemente bei der Gruppenoperation vertauschen, d.h. es gilt dann $\begin{eqnarray*} a * b = b *a \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ die Operation bezeichne.
Im Übrigen hat mulder Recht, das g ist fest (so ist V definiert), also schreibe $\begin{eqnarray*} v_ 1 * v_2^{-1} \end{eqnarray*}$ auf, benutze dass $\begin{eqnarray*} g * g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, und du bist im Grunde genommen fertig.

Ciao,
grübeldrache

31.01.2012, 20:08

grübeldrache

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Ich wollte natürlich schreiben:
$\begin{eqnarray*} g *g^{-1} = g^{-1} * g = e \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Gruppe bezeichne.

31.01.2012, 20:16

Mulder

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Es scheitert nach wie vor an der korrekten Umformung von $\begin{eqnarray*} (g^{-1}bg)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Offenbar gibt's da noch Probleme, wenn in der Klammer mehr als zwei Elemente stehen.

Vielleicht gehst du mal ganz systematisch vor:

$\begin{eqnarray*} (g^{-1}bg)^{-1} = ((g^{-1}b)g)^{-1} = g^{-1} ( g^{-1}b)^{-1} \end{eqnarray*}$

Kommst du nun weiter?

Edit: a überall durch b ausgetauscht.

31.01.2012, 20:18

Juppie

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Zitat:

Original von grübeldrache
Hallo nochmal,

Zitat:

Das ist sehr unlogisch, was du da geschrieben hast. Da muss man gar nichts umdrehen. Das, was in deinem Skript steht, gilt für JEDE Gruppe, egal ob abelsch oder nicht!

Deshalb hab ich es ja geschrieben, weil für JEDE Gruppe gilt: $\begin{eqnarray*} (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1} \end{eqnarray*}$ also auch für diese oben und nur wenn sie abelsch ist gilt auch: $\begin{eqnarray*} (gh)^{-1}=g^{-1}h^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber wenn sie abelsch ist, dann darf man die Gruppenelemente bei der Gruppenoperation vertauschen, d.h. es gilt dann $\begin{eqnarray*} a * b = b *a \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ die Operation bezeichne.

Im Übrigen hat mulder Recht, das g ist fest (so ist V definiert), also schreibe $\begin{eqnarray*} v_ 1 * v_2^{-1} \end{eqnarray*}$ auf, benutze dass $\begin{eqnarray*} g * g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, und du bist im Grunde genommen fertig.

Ciao,
grübeldrache

Bei einer beliebigen Gruppe gilt glaube ich nicht: $\begin{eqnarray*} (gh)^{-1}=g^{-1}h^{-1} \end{eqnarray*}$

31.01.2012, 20:19

Juppie

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Zitat:

Original von Mulder
Es scheitert nach wie vor an der korrekten Umformung von $\begin{eqnarray*} (g^{-1}bg)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Offenbar gibt's da noch Probleme, wenn in der Klammer mehr als zwei Elemente stehen.

Vielleicht gehst du mal ganz systematisch vor:

$\begin{eqnarray*} (g^{-1}bg)^{-1} = ((g^{-1}b)g)^{-1} = g^{-1} ( g^{-1}b)^{-1} \end{eqnarray*}$

Kommst du nun weiter?

Edit: a überall durch b ausgetauscht.

Vielen Dank, das hilft mir wirklich!

31.01.2012, 20:30

Juppie

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Zitat:

Original von grübeldrache
Hallo,

da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist, ist deine Umformung falsch.

Richtig ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}ug(h^{-1}vh)^{-1}=g^{-1}ugh^{-1}v^{-1}h \end{eqnarray*}$

Ciao,

grübeldrache

Tut mir leid Grübeldrache, aber das war da so ohne Begründung für mich nicht klar...

Weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} vw^{-1}=g^{-1}agg^{-1}b^{-1}g = g^{-1}ab^{-1}g \end{eqnarray*}$

Gehtes dann so weiter:

Es gilt, dass $\begin{eqnarray*} ab^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ .
Sei deshalb $\begin{eqnarray*} u=ab^{-1} \Rightarrow g^{-1}ug \in V \end{eqnarray*}$

Und damit ist es eine untergruppe ?

31.01.2012, 20:35

Mulder

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Zitat:

Original von Juppie
Es gilt, dass $\begin{eqnarray*} ab^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ .

Ja, und damit $\begin{eqnarray*} g^{-1}ab^{-1}g \in V \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (g^{-1}ag)(g^{-1}bg)^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Das wollten wir ja zeigen. Also am Ende auch am besten so aufschreiben.

31.01.2012, 20:49

Juppie

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Ok, vielen Dank!! :-)

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