Umfang eines regelmäßigen n-Ecks im Einheitskreis |
| 31.01.2012, 23:47 | MichaelBO | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Umfang eines regelmäßigen n-Ecks im Einheitskreis diesmal habe ich folgende Frage: Man soll den Umfang eines regelmäßigen n-Ecks (n > 2), das im Einheitskreis eingeschrieben wird bestimmen. Anschließend soll man den Grenzwert berechnen. Mir ist klar das sich der Umfang, also L_n für n gegen Unendlich, annähern muss. Aber wie bestimme ich den Umfang des regelmäßigen n-Ecks? Ich meine letztlich ist es ja (wobei x die Kantenlänge ist), aber das kann's ja irgendwie auch nicht gewesen sein ... ich übersehe hier irgendeinen genialen coup 
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| 01.02.2012, 13:37 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein regelmäßiges n-Eck im Einheitskreis kann man in n identische, gleichschenklige Dreiecke zerlegen, deren Schenkel mit dem Radius r=1 identisch sind. Mit elementarer Mathematik findet man, dass die Länge der Dreiecksgrundseite jeweils den Wert 2*sin(pi/n) hat. Der Umfang des n-Eckes ist also das n-fache dieses Wertes, d.h. u=2n*sin(pi/n). Für große n wird das Argument des Sinus sehr klein. Wir wissen, dass der Sinus für kleine Argumente etwa mit seinem Argument übereinstimmt, also etwa sin(x)=x. Damit vereinfacht sich die obige Formel für große n zu u=2n*pi/n=2*pi Das ist erwartungsgemäß der Umfang des Einheitskreises. |
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| 01.02.2012, 15:23 | MichaelBO | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, ich bin mir zwar nicht sicher ob ich in der Klausur an sowas denke, aber immerhin kann ich es nachvollziehen
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