Schwerpunkt einer Halbsphäre

01.02.2012, 11:18	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt einer Halbsphäre Ich soll mit Hilfe eines Oberflächenintegrals den Schwerpunkt der Halbkugeloberfläche (im IR^3) bestimmen, also alles mit z-Koordinate >0. Ich habe (0,0,0.5) heraus, das kommt mir jedoch komisch vor. (Bei der Vollhalbkugel ist der Schwerpunkt weiter unten.)
01.02.2012, 16:43	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hängt vom Radius ab. Welcher Radius liegt bei dir vor und wie hast du den Schwerpunkt berechnet?
01.02.2012, 17:13	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Radius 1.
01.02.2012, 17:18	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist es falsch, zeig doch mal wie du das berechnet hast.
01.02.2012, 17:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ heraus. Für die obere Einheitshalbkugel $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ habe ich die Parametrisierung $\begin{eqnarray} H: \ \ \varphi(x,y) = \left( x \, , \, y \, , \, \sqrt{1 - \left( x^2 + y^2 \right)} \right) \ \ \text{mit dem Parameterbereich} \ \ K: \ x^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray}$ verwendet. Man bildet die Gramsche Determinante aus den Vektoren $\begin{eqnarray} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{eqnarray}$ und zieht die Wurzel (oder, was dasselbe ist, man berechnet den Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren). Als Oberflächenelement erhält man damit $\begin{eqnarray} \dd o = \frac{\dd (x,y)}{\sqrt{1 - \left( x^2 + y^2 \right)}} \end{eqnarray}$ Für die Halbkugeloberfläche $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kennt man den Wert: $\begin{eqnarray} A = \int_H \dd o = 2 \pi \end{eqnarray}$ . Und für das Moment $\begin{eqnarray} M_z \end{eqnarray}$ berechnet man $\begin{eqnarray} M_z = \int_H z ~ \dd o = \int_{K} \sqrt{1 - \left( x^2 + y^2 \right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left( x^2 + y^2 \right)}} ~ \dd (x,y) = \int_K \dd (x,y) = \pi \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Koordinate des Schwerpunkts ist in der Tat $\begin{eqnarray} z_S = \frac{M_z}{A} = \frac{\pi}{2 \pi} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_S = y_S = 0 \end{eqnarray}$ ist aus Symmetriegründen klar.
01.02.2012, 17:42	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das tut mir leid. Dann habe ich mich vertan.
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01.02.2012, 23:45	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Bestätigung Leopold. Ich habe es übrigens mit der Parametrisierung $\begin{eqnarray} p(x,y)=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta) \end{eqnarray}$ gemacht. (Kugelkoordinaten mit konstantem Radius.) Damit geht es auch ganz gut.
01.02.2012, 23:48	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p(\theta,\varphi) \end{eqnarray}$ sollte das sein. Und $\begin{eqnarray} \varphi\in (0,2\pi),\theta\in (0,\pi/2) \end{eqnarray}$

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