polynomring

01.02.2012, 13:23

frieder

polynomring

Hallo.

Ich habe noch ein paar Verständnisschwierigkeiten mit Polynomringen und Quotientenkörper. Ich beschäftige mich mit den Definitionen:

Polynomring
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]=\{\sum_{i=0}^n a_i X^i | n \in \mathbb{Z}, a_i \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$

Quotientenkörper des Polynomrings
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}(X) = \{\frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{R}[X] , q \neq 0\} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Warum sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} (X) \end{eqnarray*}$ wirklich zwei unterschiedliche Strukturen? Also gibt es eine Aussage oder Rechenregel oder so, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} (X) \end{eqnarray*}$ nicht gilt oder umgekehrt?

Warum sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} [X,Y] [\latex] unterschiedlich? Was gilt in [latex] \mathbb{R} [X] \end{eqnarray*}$ , was in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} [X,Y] \end{eqnarray*}$ nicht gilt oder umgekehrt?

Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg frieder

01.02.2012, 13:36

Mulder

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RE: polynomring
Also R und R[X] sind natürlich vollkommen verschieden. R ist ein Körper (die Elemente sind Zahlen), R[X] ist ein Polynomring (die Elemente sind Polynome). Wie will man das denn vergleichen? Da müsstest du genauer sagen, wo da die Probleme liegen. Natürlich liegen auch alle Elemente aus R auch als Polynome in R[X], das sind dann die konstanten Funktionen. Aber eben noch viel mehr. Und dadurch geht in R[X] zum Beispiel auch die Körpereigenschaft, dass alle Elemente ungleich 0 invertierbar sind, verloren. Versuch mal, sowas wie f=X+1 in R[X] zu invertieren - klappt nicht.

Und wenn du mehrere Variablen hast, ergeben sich ganz andere Eigenschaften. Ein Beispiel auf Wikipedia dazu find ich nicht schlecht: Betrachte mal R[X,Y] und das Polynom f = X²+Y²-1. Dieses Polynom hat unendlich viele Nullstellen (Stichwort Einheitskreis). Hast du nur eine Variable, wie in R[X], hast du immer endlich viele Nullstellen. Nur mal so als Beispiel, um zu sehen, dass es da große Unterschiede gibt.

01.02.2012, 13:47

frieder

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Danke erstmal.

Aber ich verstehe noch nicht, warum R und der Quotientenkörper R(X) des Polyonmrings R[X] verschieden sind. Ich meine R und R(X) sind beides Körper, indenen ich wie in einem Körper rechnen kann und trotzdem sind diese Körper verschieden. Ja, R(X) hat die Variable X mehr, aber gibt es ein Beispiel wie ich das konkret aufschreiben kann?

Bei den rationalen Zahlen Q und der Erweiterung Q(wurzel(2)) kann ich mir das konkret vorstellen und aufschreiben. In Q(wurzel(2)) gibt es nämlich ein Element x, so dass xx=2 ist. In Q gibt es das nicht. Das ist ein Unterschied.

Gibt es so ein Beispiel auch für R und R(X)??

lg frieder

01.02.2012, 13:52

Mulder

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Zitat:

Original von frieder
Aber ich verstehe noch nicht, warum R und der Quotientenkörper R(X) des Polyonmrings R[X] verschieden sind.

Ah, ich hatte statt R(X) gedacht, du hättest nach R[X] gefragt. Hab mich verlesen (blöd, dass Latex derzeit nicht funktioniert).

Aber hier gilt doch wieder das gleiche. In R(X) liegen Polynome. Und Quotienten von Polynomen. Natürlich auch alle reellen Zahlen. Aber selbst die werden in R(X) als Funktionen verstanden und nicht als reelle Zahlen. Aber eben auch solche Sachen wie (X²+1)/X. Oder einfach nur 1/X. Und wir sind uns doch einig, dass das nicht in R liegt. Ich verstehe grad nicht, warum dir das schwerer fällt als bei Q(Wurzel 2).

R und Q sind auch beides Körper. Deswegen sind sie doch nicht gleich (bzw. isomorph, um in der Sprache der Algebra zu bleiben).

01.02.2012, 14:03

frieder

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Naja. Mein Problem ist, dass ich X nicht wirklich "fassen" kann. Ich weiß schon, dass R und R(X) verschieden sind. Aber es ist für mich schwierig, das wirklich aufzuschreiben.

R und R(X) unterscheiden sich ja dadurch, dass R(X) noch die Variable X dabei hat. Wie kann man das aufschreiben?
... In R(X) gilt: Es gibt ein X mit X nicht Element in R? Das stimmt ja nicht wirklich...?

01.02.2012, 15:13

Mulder

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Tut mir leid, ich weiß irgendwie nichts mehr zu ergänzen. Warum willst du Zahlen und Polynome vergleichen? Wie soll das gehen?

Es gibt an diesem X auch nichts zu "fassen". Es ist einfach eine Variable.

01.02.2012, 20:11

carlf

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Zitat:

In R(X) gilt: Es gibt ein X mit X nicht Element in R? Das stimmt ja nicht wirklich...?

Eben doch. :-) X ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}(X) \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
X ist ein zusätzliches Element, von dem keine Potenz und auch keine Linearkombinationen von Potenzen (das sind ja genau die Polynome in X) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegen.

Konkreter "fassen" kann man das nicht wirklich, X ist ja eben keine reelle (oder komplexe) Zahl oder ähnliches, sondern ein abstraktes Element des Körpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}(X) \end{eqnarray*}$ .

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