Einfache und Doppelte Resonanz in DGL's

01.02.2012, 15:13

Anduin91

Einfache und Doppelte Resonanz in DGL's

Mal wieder eine Verständnissfrage:

Folgende DGL nehm ich mal als Beispiel

$\begin{eqnarray*} y''+2y'+y = f(x) \end{eqnarray*}$

In Bezug auf diese Aufgabe setze ich mich gerade mit einfacher und Doppelter Resonanz auseinander, kann mit den Begriffen aber relativ wenig anfangen.

Laut meinen Unterlagen bedeutet einfache Resonanz das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2-fach als Nullstelle meines charakteristischen Polynoms vorhanden ist.

Hier im Beispiel also : $\begin{eqnarray*} \lambda ^{2}+2\lambda +2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nullstellen wären dann wohl:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lambda1 =-1+i<br /> \lambda2 =-1-i \end{eqnarray*}$

Hier setzen meine Probleme ein, ein Aufgabentyp verlangt zB eine Störfunktion anzugeben die für eine "einfache Resonanz" sorgt, oder sogar nach einer Störfunktion für "doppelte" Resonanz.
(Doppelte Resonanz = 3x gleiches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?)

Ich gehe mal davon aus das es sich hier um einen Verständnisfehler handelt, kann mich jemand erleuchten oder auf eine gute Erklärung verlinken?

01.02.2012, 15:36

René Gruber

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Fehler

Zitat:

Original von Anduin91
$\begin{eqnarray*} y''+2y'+y = f(x) \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2}+2\lambda +2 = 0 \end{eqnarray*}$

Das richtige charakteristische Polynom zu deiner DGL ist

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2}+2\lambda +1 = 0 \end{eqnarray*}$

01.02.2012, 15:39

Anduin91

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Tippfehler meinerseits:

Die richtige Funktion sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y''+2y'+2y=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2}+2\lambda +2 = 0 \end{eqnarray*}$

Danke fürs drauf aufmerksam machen Augenzwinkern

Damit wäre das geklärt, meine Frage ist aber noch offen unglücklich

01.02.2012, 16:35

René Gruber

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Passende resonante Störfunktionen sind Funktionen, die Lösung der homogenen Gleichung sind - in deinem Fall also

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_1e^{(-1+i)x} + a_2e^{(-1-i)x} \end{eqnarray*}$

bzw. in der zugehörigen reellen Variante

$\begin{eqnarray*} f(x) = b_1e^{-x}\cos(x) + b_2e^{-x}\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

02.02.2012, 09:44

Anduin91

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Also wenn ich das richtig verstehe ist eine einfache Resonanz dann vorhanden wenn:

y homogen = f(x)

Schön und gut, aber wenn diese Regel zutrifft was soll dann eine "doppelte" Resonanz sein verwirrt

Schlich gibt es nur "eine" homogene Lösung und auch nur eine Störunfunktion

02.02.2012, 09:55

René Gruber

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Ich bin nicht so sattelfest bei dieser Art Begriffen, aber so wie ich es kenne, taucht der Begriff "doppelte Resonanz" nur dann auf, wenn das charakteristische Polynom der homogenen DGL auch tatsächlich doppelte Nullstellen hat - das ist hier nicht der Fall. Damit halte ich diese Frage für die vorliegende (von dir korrigierte) DGL für irrelevant.

P.S.: Für die ursprünglich geschriebene DGL $\begin{eqnarray*} y''+2y'+y = f(x) \end{eqnarray*}$ mit der doppelten Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=-1 \end{eqnarray*}$ wäre es angemessen gewesen.

02.02.2012, 09:59

Anduin91

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Danke, ich nehme mal an das du da trotzdem richtig liegst, den in der ursprünglichen aufgabenstellung wird nur gefragt ob es denkbar ist das eine Störfunktion mit doppelter resonanz (also scheinbar mit doppelter Nullstelle und Störfunktion = homogener Lösung) existiert.

Danke für die Nachhilfe Augenzwinkern

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