Verteilung von Produkten und Quotienten

16.01.2007, 15:42

Zahlenschubser

Verteilung von Produkten und Quotienten

Hallo zusammen!

Ich stehe vor dem Problem für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b+c\cdot d}{e\cdot f+g\cdot h} \end{eqnarray*}$ eine Lösung zu benötigen. Da dieser analytisch nicht geschlossen lösbar ist, würde mir eine Verteilung schon reichen, sofern ich unterstellen kann, dass $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f,g,h \end{eqnarray*}$ unabhängig normalverteilt sind. Die Summen sind damit schonmal kein Problem, aber wie sieht's mit Produkten und Quotienten aus???

Vielen Dank im voraus!

16.01.2007, 15:57

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Sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängige, stetig verteilte Zufallsgrößen mit den Dichten $\begin{eqnarray*} f_X,f_Y \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(z) &=& \int\limits_{-\infty}^\infty ~ f_X(x)f_Y(z-x) ~ \dd x\\ f_{X-Y}(z) &=& \int\limits_{-\infty}^\infty ~ f_X(x)f_Y(x-z) ~ \dd x\\ f_{X\cdot Y}(z) &=& \int\limits_{-\infty}^\infty ~ \frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y\left(\frac{z}{x}\right) ~ \dd x\\ f_{X/Y}(z) &=& \int\limits_{-\infty}^\infty ~ |x| f_X(xz)f_Y(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Wünsche fröhliches, sukzessives Einsetzen und integrieren. Wink

17.01.2007, 18:26

Zahlenschubser

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Verteilung von Produkten und Quotienten
Hallo Arthur!

Vielen Dank, das hilft schonmal.

Aber geht das auch noch einfacher, á la $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} aX\pm bY \end{eqnarray*}$ normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu_{aX\pm bY}=a\mu_X\pm b\mu_Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_{aX\pm bY}^2=a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2\pm 2ab\sigma_{X,Y} \end{eqnarray*}$ ? (Sowas wie die quadratische Form einer standnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt oder der Quotient zweier Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen ist F-verteilt etc.)

Sonst werde ich für die Unmenge an Werten, die ich tatsächlich habe, wohl nie eine (numerische) Lösung finden...

24.01.2007, 11:24

schlomo76

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Gibts auch so eine schöne formel für $\begin{eqnarray*} f_{\overline{X}}(z)= \end{eqnarray*}$ ?

25.01.2007, 18:28

Zahlenschubser

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Das folgt doch direkt aus meinem Beispiel (für zwei Zufallsvariablen): $\begin{eqnarray*} a=b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2007, 18:31

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RE: Verteilung von Produkten und Quotienten

Zitat:

Original von Zahlenschubser
dann $\begin{eqnarray*} aX\pm bY \end{eqnarray*}$ normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu_{aX\pm bY}=a\mu_X\pm b\mu_Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_{aX\pm bY}^2=a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2\pm 2ab\sigma_{X,Y} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist richtig, wenn $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen sind. Oben sollten es aber auch Zufallsgrößen sein... Teufel

26.01.2007, 10:38

Zahlenschubser

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RE: Verteilung von Produkten und Quotienten
Hallo Arthur!

Meinst du mein Beispiel oder schlomo's?

Bei schlomo's gilt doch einfach für den Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a=b=...=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und damit auch die Normalverteilung mit den angegbenen Parametern. (Der Stichprobenumfang ist ja keine Zufallsvariable.)

In meinen Beispiel besteht genau das Problem, was du ansprichst, ich suche die Verteilung von $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{X}{Y} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig normalverteilte Zufallsvariablen. Dafür hast du auch keine Lösung parat, oder?

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