Messbarkeit und beschränktheit

01.02.2012, 17:10

stefanie_uni

Messbarkeit und beschränktheit

Meine Frage:
Betrachte $\begin{eqnarray*} I_{j,n}= \left[\frac{j}{n}-\frac{1}{4^{j+n} } , \frac{j}{n}+\frac{1}{4^{j+n} } \right] , f:\mathbb R -> \left[0,\infty \right] mit f(t)=\sum\limits_{j,n=1}^\infty (j+n) 1_{I_{j,n} } (t) \end{eqnarray*}$
a) ist f messbar?
b) ist f beschränkt?

Meine Ideen:
a) Also I ist ein Abgeschlossenes Intervall und deshalb ist eie Indikatorfunktion von I für alle t messbar. Dann aber habe ich noch die Summe über j+n, die unendlich ist. hier weiss ich jetz nicht weiter. kann mir jemand helfen? oder ist dies eine begründung warum es nicht messbar ist?
b)meine vermutung ist dass sie unbeschränkt ist, weiss jedoch nicht genau wie ich das zeigen kann. irgendjemand ne idee??

Also würde mich über vorschläge, ideen und lösungen freuen
vielen dank
grüsse steffi

01.02.2012, 21:37

system-agent

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Zu (a):
Was weisst du denn über die Grenzfunktion von Folgen messbarer Funktionen? Das kannst du hier 2 mal anwenden [2 Indices].

01.02.2012, 22:06

stefanie_uni

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Vielen dank erstmals.
Hmm meinst du vielleicht das: Der punktweise Grenzwert einer Folge messbarer reellwertiger Funktionen ist messbar.
Falls es der richtige satz ist versuche ich damit mal etwas anzufange. Ich habe messbare Folgen (die Indikatorfunktionen) die Reelwertig sind, damit ist der punktweise Grenzwert dieser Indikatorfunktion messbar. das heisst di summer über n ist messbar. dann wende ich das nochmals für die summe über j an und erhalte eine messbare funktion. ist das korrekt? oder habe ich den satz falsch verstanden?

02.02.2012, 16:36

system-agent

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Nein, alles korrekt smile

02.02.2012, 16:39

stefanie_uni

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juhuuu danke vielmals!
grüsse

02.02.2012, 16:48

stefanie_uni

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oww jetz habe ich doch glatt vergessen dass es eben noch ein b) gibt mit der beschränktheit.
hast du dazu vieleicht auch eine idee?

02.02.2012, 17:03

system-agent

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Schau dir mal die speziellen Mengen $\begin{eqnarray*} I_{j,1} \end{eqnarray*}$ an. Was für Mengen entsprechen diese geometrisch? Sind sie disjunkt? Welchen Wert muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ihnen mindestens haben?

02.02.2012, 17:19

stefanie_uni

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dies wären dann Mengen [1-1/16, 1+1/16], [2-1/64, 1+1/64], [3-1/64, 3+1/64], ...
das heisst das die vereinigung der intervalle entspricht den natürlichen oder? wobei die einzelnen intervalle disjunkt sind.
hmm f muss mindestens den wert 2 haben oder?

02.02.2012, 19:08

system-agent

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Zitat:

Original von stefanie_uni
das heisst das die vereinigung der intervalle entspricht den natürlichen oder?

Nein. Aber jedes dieser Intervalle ist eine "Kugel" um die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4^{j+1}} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von stefanie_uni
wobei die einzelnen intervalle disjunkt sind.

Ja.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} j+n\geq j+1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ . Schätze damit die Doppelsumme in der Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach unten grob ab. Beachte, dass jeder Summand in der Doppelsumme $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ ist, also kannst du zum Beispiel alle Summanden der Summe über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ weglassen bis auf diese für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dann die Folge $\begin{eqnarray*} x_j:=j \end{eqnarray*}$ .

02.02.2012, 19:48

stefanie_uni

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:-) stimmt das ist ne kugel
also ich versuche mal das auzuschreiben soweit ich es verstanden habe:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{j,n=1}^\infty (j+n) 1_{I_{j,n}} \geq \sum\limits_{j=1}^\infty (j+1) 1_{I_{j,1}} \geq \infty \end{eqnarray*}$

das heisst dann das die summe unbeschränkt ist. aber ich glaube ich kann die abschaätzung nicht genau so machen oder? muss ich da irgendwie die Kugel noch einbringen?

03.02.2012, 11:43

system-agent

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Es ist doch soweit alles OK [bis auf das letzte " $\begin{eqnarray*} \geq\infty \end{eqnarray*}$ "]. Nun hast du eine neue Funktion $\begin{eqnarray*} g: [0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g(t):=\sum\limits_{j=1}^{\infty}(j+1)1_{I_{j,1}}(t) \end{eqnarray*}$ definiert. Diese ist wiederum messbar [wieso?] und erfüllt $\begin{eqnarray*} f\geq g \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du über die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} g(m) \end{eqnarray*}$ sagen, für $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ [beachte die Disjunktheit der $\begin{eqnarray*} I_{j,1} \end{eqnarray*}$ ]?

03.02.2012, 15:53

stefanie_uni

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ok danke.
also das dann g messbar ist, ist klar. kann wieder den gleichen satz wie am anfang anwenden.
da sie disjunkt sind, kann die Folge nur bei einem j-wert ungleich null sein oder nicht?
dann wäre g(m)= m für t in I(m,1) und da m in N ist, kann es unendlich sein und damit g unbeschränkt... ist das korrekt oder schwachsinn?

03.02.2012, 17:39

system-agent

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Es ist beinahe korrekt Augenzwinkern

. Beachte: $\begin{eqnarray*} g(m)=m+1 \end{eqnarray*}$ .

Du musst aber bei der Formulierung aufpassen. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wird nicht unendlich, aber es ist unbeschränkt. Das sind zwei verschiedene Dinge.

03.02.2012, 17:48

stefanie_uni

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ow ja stimmt. die motivation ist bischen flöten gegangen ;-)
auf jeden fall vielen dank für deine mühe und hilfe!
schönes wochenende!
grüsse

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