sehr kompliziertes integral

01.02.2012, 18:23

taugenix

sehr kompliziertes integral

Nabend,
ich versuche seit einigen stunden die fourier-reihe zu $\begin{eqnarray*} cos(sin(x))e^{cosx} \end{eqnarray*}$ aufzustellen. Um die Fourier-Koeffizienten zu berechnen brauche ich entweder $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \!cos(sinx) e^{cosx}cos(kx) \, dx \end{eqnarray*}$ oder im komplexen fall: $\begin{eqnarray*} \int_0 ^{2\pi} \!cos(sinx) e^{cosx}e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$ .
Leider weiss ich überhaupt nicht wie ich so ein integral lösen soll, auch wolframalpha weiss keine lösunge. Gibts vielleicht eine andere Möglichkeit die in die Fourierreihe zu entwickeln, das integral scheint mir unlösbar...

01.02.2012, 19:37

gonnabphd

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Hi,

Die Integrale brauchst du hier nicht auszurechnen. Benutze lieber

$\begin{eqnarray*} \exp(e^{it}) = \exp(\cos(t)+i\sin(t)) = e^{\cos(t)}(\cos(\sin(t)) + i\sin(\sin(t))) \end{eqnarray*}$

und die Reihendarstellung der Exponentialfunktion (sowie die Eindeutigkeit der Fourierentwicklung).

Damit kommst du ziemlich direkt auf die von dir gesuchte Fourierreihe.

Grüsse smile

01.02.2012, 19:56

taugenix

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nicht übel,aber wie soll mir das weiterhelfen ? ^^

01.02.2012, 20:19

taugenix

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ich verstehe zwar die beziehungen (euler) aber rauskommen müsste sowas wie:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{cos(kx)}{k!} \end{eqnarray*}$
wie krieg ich das "k" mit rein? Ich glaube ich verstehe nicht was du mir zu zeigen versuchst, geht das vielleicht langsamer, bin nicht unbedingt der hellste in analysis... smile

01.02.2012, 21:18

Leopold

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Das gesuchte Integral ist der Imaginärteil des komplexen Kurvenintegrals

$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \frac{1}{2} \operatorname{e}^z \left( z^{k-1} + \frac{1}{z^{k+1}} \right) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

wobei über den positiv orientierten Einheitskreis integriert wird. Außer für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ reduziert sich das sogar auf

$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1} \frac{\operatorname{e}^z}{2 z^{k+1}} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Das Residuum des Integranden ist gerade $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k!} \end{eqnarray*}$ , wie man der Potenzreihe der Exponentialfunktion unmittelbar entnimmt.

Der Fall $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ ist gesondert zu behandeln, weil dort auch der erste Summand in der Klammer eine Singularität besitzt.

01.02.2012, 21:28

taugenix

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habe mir jetzt eine "lösung" zusammengebastelt, weiss aber nicht ob ich das einfach so machen darf:

$\begin{eqnarray*} exp(e^{ix})=e^{cos(x)}(cos(sin(x))+i*sin(sin(x))) \end{eqnarray*}$
das ist zwar nicht genau die funktion die entwickelt werden soll,aber zumindest der realteil davon. Drücke ich die linke seite mit der Potenzreihe aus komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac {e^{ikx}}{k!}=<br /> \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{cos(kx)+i*sin(kx)}{k!} \end{eqnarray*}$

betrachte ich hiervon den Realteil,führt mich das auf die reelle fourier-reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{cos(kx)}{k!} \end{eqnarray*}$

die letzte argumentation ist ziehmlich schäbig und wahrscheinlich sogar falsch, aber bin ich zumindest auf dem richtigen weg?

edit:sehe gerade dass meine frage beantwortet wurde, danke smile

01.02.2012, 21:42

gonnabphd

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Zitat:

die letzte argumentation ist ziehmlich schäbig und wahrscheinlich sogar falsch, aber bin ich zumindest auf dem richtigen weg?

Ja. Das ist genau, was ich meinte. Es ist

$\begin{eqnarray*} \cos(\sin(x)) e^{\cos(x)} = \mathrm{Re}[\exp(e^{ix})] = \mathrm{Re} \left[\sum_{k = 0}^\infty\frac{e^{ikx}}{k!} \right] = \mathrm{Re} \left[\sum_{k = 0}^\infty\frac{\cos(kx)}{k!} + i \sum_{k = 0}^\infty\frac{\sin(kx)}{k!} \right] = \sum_{k=0}^\infty\frac{\cos(kx)}{k!} \end{eqnarray*}$

(Daran ist nichts unsauber.) Da das rechts eine Fourierreihe ist, ist es somit die Fourierreihe deiner Funktion (wegen Eindeutigkeit ebendieser). Du kannst das natürlich noch umschreiben in komplexe Form, wenn du willst.

Grüsse Wink

01.02.2012, 22:12

taugenix

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juhu ein erfolgserlebnis in analysis, das ist wirklich selten smile

Eine Frage hätte ich noch, aber das ist nicht so wichtig.
Kann ich, wenn ich dasselbe für die funktion g(x)=sin(sin(x))exp(cos(x)) mache
(sollte ja analog funktionieren,nur mit dem imaginärteil), den Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! cos(sinx)cos(kx) \, dx \end{eqnarray*}$ herleiten?
das ist ja im Grunde der Fourierkoeffizient a_k mal pi. Habe mir überlegt,dass man vielleicht den Satz van Parseval benutzen kann. Aber habe leider keine Zeit mehr das in stundenlangem try and fail zu testen ^^, deswegen frage ich einfach.

Auch wenn nix mehr kommt, danke ich euch beiden trotzdem. Habt mir wirklich extrem geholfen smile

gruß, david

01.02.2012, 22:23

gonnabphd

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Zitat:

Kann ich, wenn ich dasselbe für die funktion g(x)=sin(sin(x))exp(cos(x)) mache (sollte ja analog funktionieren,nur mit dem imaginärteil), den Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! cos(sinx)cos(kx) \, dx \end{eqnarray*}$ herleiten?

Meinst du wirklich das Integral, welches du hier geschrieben hast (passt irgendwie nicht zur Einleitung mit dem g(x), deshalb frage ich)?

01.02.2012, 22:57

taugenix

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Ups,hab das e^(cos(x)) vergessen. Der Integrad ist im Grunde f(x)*cos(kx).
Die information mit dem g(x) ist einfach nur redundant. War eben teil der aufgabe und ich dachte erst ich muss beide ergebnisse kombinieren. Aber f(x) reicht wohl für die Berechnung.

01.02.2012, 23:28

gonnabphd

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Ja, deine Überlegung ist auf alle Fälle richtig. Wenn du die Fourierreihe kennst, dann kannst du die Koeffizienten (und damit die Werte des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx)\, dx \end{eqnarray*}$ ) mehr oder weniger direkt ablesen.

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