Matrix , lin. Abbilgung , geord. Basen

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16.01.2007, 16:12	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix , lin. Abbilgung , geord. Basen Hallo, Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? ICh weiß nicht so recht wie das geht. ALso die Aufgabe lautet: (a) Berechnen Sie die Matrix $\begin{eqnarray} A=Mat^{G'}_{G}(id_{\mathbb R^2}) \end{eqnarray}$ ,die die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} id_{\mathbb R^2}: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ bezüglich der geordneten Basen $\begin{eqnarray} G = ((1,1),(1,2)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G' = ((1,0),(2,3)) \end{eqnarray}$ beschreibt. (b) Sei $\begin{eqnarray} L \in End(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ so, dass bezüglich der geordneten Basen $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G' \end{eqnarray}$ aus (a) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}=Mat^{G'}_{G}(L) \end{eqnarray}$ gilt. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} L(e_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L(e_2) \end{eqnarray}$ . Muss ich bei (a) vllt die Linearitätsbedingungen unter anderem untersuchen?Wie berechnet man die Matrix? Kann mir jemand helfen? Vielen Dank im Voraus Lg Chris
16.01.2007, 16:27	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a)... - die Linearität musst du nicht untersuchen, denn die Identität ist immer linear... zur Matrix mach folgendes... wende auf einen Basisvektor von G' die Abbildung an. Da kommt ja ein Vektor aus dem R^2 raus. Diesen Vektor versuchst du als Linearkombination der Basis G darzustellen. Die Koeffizienten dieser Linearkombination schreibst du in die erste Spalte von A. Das gleiche machst du nochmal mit dem zweiten Basisvektor von G'. Dieses mal schreibst du die Koeffizienten aber in die zweite Spalte von A. Irgendwo in deinem Skript steht sicher, dass das so gemacht wird. Nur meistens sehr verschlüsselt, so dass man es nicht gleich findet. Jedenfalls so wirds gemacht.
16.01.2007, 19:07	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hört sich alles ganz logisch an. Hab jetzt gerade nur das Problem dass ich nicht weiß wie ich einen Basisvektor (also (1,0) oder (2,3) auf meine lineare Abbildung ( $\begin{eqnarray} id_{\mathbb R^2}: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ) anwenden soll. Hab das so noch nie gemacht.Könntest du mir da vllt bitte einen Ansatz geben?
16.01.2007, 19:53	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du deine lineare Abbildung als Matrix gegeben hast, dann heißt die Abbildung auf einen Vektor anwenden nichts anderes als die Matrix mit dem Vektor zu multiplizieren
16.01.2007, 20:20	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab doch gar keine Matrix gegeben oder kann ich etwa die nehmen die bei (b) steht?
16.01.2007, 21:39	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry - hätte nochmal deine Aufgabe lesen sollen, bevor ich antworte... du hast ja keine Matrix gegeben, sondern willst die erst rausbekommen... aber du hast eine Abbildung gegeben. Du sollst auch nicht einen Vektor auf die Abbildung anwenden, sondern die Abbildung auf den Vektor. Deine Abbildung ist $\begin{eqnarray} id_{\mathbb R^2} \end{eqnarray}$ was passiert, wenn du diese Abbildung auf einen Vektor anwendest?
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16.01.2007, 22:01	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bekomme ich doch auch einen Vektor oder? Könntest du mir vllt noch sagen wie $\begin{eqnarray} id_{\mathbb R^2} \end{eqnarray}$ aussieht bzw. ist?
16.01.2007, 22:43	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
müsste eigentlich in deinen Aufzeichnungen stehen. mit id bezeichnet man immer die identische Abbildung. Das heißt id(v) = v für alle v aus dem R². kannst du jetzt die Aufgabe lösen?
16.01.2007, 22:53	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so in etwa hatte ich das auch in erinnerung. Nur weiß ich nicht was das hier ( $\begin{eqnarray} id_{\mathbb R^2}: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ bedeuten soll. Eigentlich doch nur dass von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ identisch nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ abgebildet wird oder. Nun aber was? Die Matrix A oder? Falls ja, was das einzige ist was ich mir hier vorstellen kann, dann muss ich diese doch erst irgendwie mit den Basen bestimmen, richtig? Kannst du mir mal einen Tipp geben?
17.01.2007, 16:57	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, könnte mir bitte jemand hier weiterhelfen?Ich komme so einfach nicht weiter weil ich nicht richtig weiß was ich tun muss. LG Chris
17.01.2007, 20:08	ErRoRr-FuNCtiOn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich habe das so gemacht: (a) Die Lin.Abb. auf einen Basisvektor angewendet gibt gerade diesen wieder. Dann eine Lin.Kombination mit einem Basisvektor aus G' $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =a_{11} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{21}* \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die beiden Koeffizienten ergibt die erste Spalte der Matrix das gleiche mit dem anderen Basisvektor von G' $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} =a_{12}* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{22}* \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die beiden Koefizienten ergibt die zweite Spalte der Matrix $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ Matrix = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (b) Da hab ich mir gedacht dass es doch fast das gleiche istl nur hab ich jetzt schon die Matrix und ich soll $\begin{eqnarray} L(e_1) \bzw \ L(e_2) \end{eqnarray}$ berechnen. Also drehe ich das ganze um: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e_{11} \\ e_{21} \end{pmatrix} =2* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 3* \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e_{21}\\ e_{22} \end{pmatrix} =1* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2* \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Kann das sein?Könnte sich das mal bitte jemand anschauen und mir sagen ob das stimmt oder falsch ist? Gruß ErRoRr
17.01.2007, 21:50	ErRoRr-FuNCtiOn	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, das ist leider falsch!!!

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