Lineare Abbildung herausfinden

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01.02.2012, 21:14	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung herausfinden Moin! Ich setell mich mal wieder an... Gegeben seien der VR V der reelen rechten oberen Dreiecksmatrizen die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ , sowie die folgenden Bilder von L: $\begin{eqnarray} L\left(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L\left(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}0 &2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L\left(\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 0 & 3\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 6 & -6 \\ 0 &12 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll eigentlich die Eigenwerte und Eigenräume herausfiltern. Bei den ersten beiden sieht mans ja, aber bei der dritten... Ich wollt jetzt erstma die Abbildende Matrix bestimmen. musste aber feststellen: Ich hab keinen Ansatz grad wie ich das anstelle... Hat jemand grad mal nen Tipp?
01.02.2012, 21:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht gibt es einen einfacheren Weg, aber ich würde erst einmal die Bilder der kanonischen Basis bestimmen, indem Du sie durch die gegebene Basis (?) ausdrückst. So gelangst Du zur Darstellungsmatrix und kannst dann über das chrakteristische Polynom die Eigenwerte und auch Eigenräume bestimmen.
01.02.2012, 22:31	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm.Ja. Die gegebene Basis sind die Matrizen die oben in L() eingefügt wurden. Ich hab aber nicht ganz verstanden was du meinst.... Sowas wie: $\begin{eqnarray} L\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right) = x \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} + y \cdot \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + z \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hätte ich für: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} : x=5/6 , y=-1/6, z=2/3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} : x=7/6 , y=1/6, z=1/3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : x=1/6 , y=1/6, z=1/3 \end{eqnarray}$ Frage: Wie komme ich da auf die Darstellende? Hab nen Knoten im Kopf
01.02.2012, 22:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kannst Du natürlich auch die drei Bilder durch die gegebene Basis darstellen, um eine Darstellungsmatrix zu erhalten. Das dürfte um einiges schneller gehen, da Du die ersten beiden ja schon als Vielfache identifiziert hast.
01.02.2012, 23:22	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Also. Die Basis ist $\begin{eqnarray} B=\left\{ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt die Bilder Darstelle von oben hab ich beim 1. -3B_3 beim zweiten cB_1 und beim dritten 6B_3 Ich könnte also hergehen und das Charak. Polynom über die Nullstellen herleiten und erhalte: $\begin{eqnarray} y=(x+3)(x-2)(x-6)=x^3-5x^2-12x+36 \end{eqnarray*}$ Kann ich das so machen? Aber dit mit der Darstellenden hab ich immer noch nicht begriffen...
02.02.2012, 10:48	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand weiter helfen?
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02.02.2012, 12:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte daran liegen, dass zwischen 23 Uhr und 12 Uhr die meisten Menschen schlafen, zur Arbeit gehen oder in der Schule sind Also noch einmal deutlicher: Du hast eine Basis und kennst deren Bilder. Wenn Du die nun bzgl. dieser Basis darstellst, hast Du eine Darstellungsmatrix, die Dir das charakteristische Polynom und damit auch die drei (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerte liefert. Mit $\begin{eqnarray} B=\left \{ \begin{pmatrix} 0&1\\0&-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1&-1\\0&2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2&1\\0&3 \end{pmatrix} \right \} =\{B_1,B_2,B_3\} \end{eqnarray}$ ist doch $\begin{eqnarray} L(B_1)=2B_1, L(B_2)=-3B_2, L(B_3)=xB_1+yB_2+zB_3 \end{eqnarray}$ Die zugehörige Darstellungsmatrix ist dann $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 2&0&x\\0&-3&y\\0&0&z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.02.2012, 12:50	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Hihi. Kann sein, ja... Hab oben B_2 und B_3 vertauscht... Es ist also $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 &0&0 \\ 0&6&-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber das heisst doch auch, dass 2 -3 und 6 die EW sind, oder? Dann müsste ich ja sagen können, dass mein char. Polynom wie oben aus den Nullstellen (EW) kommt... Stimmt dass? Danke schonmal
02.02.2012, 12:53	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du auf 6 als Eigenwert? Das charakteristische Polynom dieser Matrix kannst Du ohne Probleme direkt berechnen. Sechs ist aber keine Nullstelle davon.
02.02.2012, 13:07	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann eben -3, 0 ,2 mit $\begin{eqnarray} p(x)= -x^2-x^2+6x \end{eqnarray}$ aber dann habe ich ja Spaltenvektoren als Eigenräume. Stimmt das überhaupt? Ich bin verwirrt...
02.02.2012, 13:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst natürlich nicht vergessen, dass M nur Koordinaten auf Koordinaten abbildet, die dann wiederum eine Matrix beschreiben. Wenn ihr det(A-xE) als charakteristisches Polynom definiert habt, dann stimmt deine Rechnungn. Die Nullstellen sind mit -3,0,2 auch richtig bestimmt. Nun fehlt nur noch der Eigenraum.

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