Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler

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01.02.2012, 23:24	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Hallo ich stehe leider bei dieser aufgabenstellung total auf dem schlauch da ich die anwendung nicht verstehe ich soll $\begin{eqnarray} \pi ² / sin²(\pi z) \end{eqnarray}$ partial darstellen mir ist bereits klar das die polstellen hier bei allen n aus den ganzen zahlen liegen dazu soll ich jetzt mit dem hauptteil der laurentreihe arbeiten aber leider weiß ich nicht wie die anweisungen dazu befolgen soll $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=1}^m A^{(n)} \times 1/(z-z_{n})^j \end{eqnarray}$ soll den hauptteil darstellen m sind die VFH der polstelle aber ich habe keine ahnung was dieses A sein soll und wie ich am ende auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-\infty }^\infty [1/ (z-j)²] \end{eqnarray}$ kommen soll schon mal vielen dank für eure hilfe !
02.02.2012, 00:22	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Das a ist eine Folge, oder nicht? Jedenfalls würde das zur Laurentreihe passen.... Der Ansatz ist recht simpel, Wähle als Polynom x² (Da sin²(piz)) und damit ergibt sich eigentlich schon (fast) direkt die Laurentreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(z-n)^2} \end{eqnarray}$ . Das a_n ist also die konstante Folge 1. In deienr Summe summierst du über k, das sollte aber über j sein, so wie es bei dir steht.
02.02.2012, 00:35	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler also das A sieht wie die n-te ableitung aus und wird übrigends auch über j summiert ( k war unten falsch eingesetzt das stimmt ) für a muss ich also x² einsetzen ? kannst du mir vilt nochmal sagen wieso genau? bin i-wie doof heute und habe ich eine polstelle ordnung 2 mit n aus Z ?
02.02.2012, 09:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Deine Indizesz stimmen auch vorne und hinten nicugt, auch sollte es bei dir a_j heißen. Kennst du eine Bildungsvorschrift dür die Koeffizienten der Laurentreihe (die a_j sind die Koeffizienten). Dann einfach PBZ, du hast Polstellen vom Grad 2 bei allen ganzen Zahlen, also $\begin{eqnarray} z=n \Rightarrow z-n=0 \end{eqnarray}$ Verwurstet man noch, dass es Polstellen vom Grad 2 sind, so erhält man $\begin{eqnarray} (z-n)^2=0 \end{eqnarray}$ . Nun PBZ: Es ist $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{\sin^2( \pi z)}=\frac{a_1}{(z-m_1)^2}+....+\frac{a_n}{(z-m_n)^2}..... \end{eqnarray}$ Nun die Koeffizienten bestimmen.
02.02.2012, 11:06	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler okk .... also wenn ich dann die zerlegung mache müsste es dann nicht so ausssehn $\begin{eqnarray} \frac{a_{1} (z-n)}{(z-n)} + \frac{a_{2} }{(z-n)²} = \frac{\pi ²}{sin²\pi z} \end{eqnarray}$ ? und dann $\begin{eqnarray} a_{1} (z-n) +a_{2} = \pi ² \end{eqnarray}$ aber wie bestimme ich jetzt die a's ? ich habe auch in einem skript gesehen das die a's einfach das res in der polstelle sind also : $\begin{eqnarray} \lim_{z \to n} (z-n)² P(z) \end{eqnarray}$
02.02.2012, 11:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Genau, die Koeffizienten sind das Residuum, damit haben wir doch eine Darstellung für die Koeffizienten. Aber: Ist a eine n-fache Polstelle, so ist $\begin{eqnarray} Res_a(P)=\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a}((z-a)^nP(z))^{(n-1)} \end{eqnarray}$ , dabei ist das n-1 in der Kalmmer die n-1-te Ableitung (also der letzte "Exponent" soll die Ableitung darstellen). Das bedeutet für n=2: $\begin{eqnarray} Res_{a}(P)= \lim_{z \to a}((z-a)^2 \cdot P(z))' \end{eqnarray}$
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02.02.2012, 11:51	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler danke für die definition .... die hatte ich i-wie nicht für mehrfache polstellen deswegen hatte das auch mal gar nicht funktioniert habe gerade noch die ableitung versucht zu berechnen ^^ ziemlich schwierig hier könnte ich $\begin{eqnarray} a_{1} (z-n) + a_{2} = \pi ² \end{eqnarray}$ auch ohne das res bestimmen ?
02.02.2012, 12:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Kann man (glaub ich), wenn man eine Polynomdarstellung vom Sinus kennt. Dazu kann man den sinus exponential darstellen und dann die Taylorentwicklung der exponentialfunktion benutzen und wie gewohnt einen Koeffizientenvergleich durchführen (hab ich noch nicht gemacht, sollte aber theoreitisch klappen) Einfacher ist aber wirklich das Residuum zu bestimmen Edit: Ich habe tatsächlich bei der PBZ die "einfachen" Nullstellen des Zählers vernachlässigt, entschuldige, sollte aber dennoch wie oben gesagt klappen (Stichwort kürzen).
02.02.2012, 12:26	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler ok dann auf jeden fall res versuchen zu nutzen aber bin ich doof das $\begin{eqnarray} res = \lim_{z \to n} [ (2 (z-n) P(z) - P'(z) (z-n)² ] \end{eqnarray}$ muss doch so aussehen oder ? und muss das nicht 0 sein ? es kürzt sich ja mit dem polynom (auch wenn es abgeleitet ist ) nichts raus oder ?
02.02.2012, 12:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Jetzt setz das halt mal für die Koeffizienten in deine PBZ ein. Ich hab das jetzt selbst auch noch nicht durchgerechnet (habe auch kein Papier mehr zu Hause), und die Notizen von gestern versehentlcih vernichtet. Betrachte doch nur mal die Polstelle n=a, also erst mal nur eine beliebige aber feste Polstelle und setz den ganzen Krempel ein, mal schauen, was passiert.....
02.02.2012, 12:38	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler also den ganzen lim für $\begin{eqnarray} a_{1} (z-n) + a_{2} \end{eqnarray}$ einsetzen ? den limes muss ich doch zuerst berechnen oder ?
02.02.2012, 13:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler Jap, kann man machen.
02.02.2012, 13:18	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler aber der limes müsste doch 0 sein ? und 0 einsetzen ergibt wieder 0 oder ? am ende sollte ich aber doch die 1 haben von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=-\infty }^\infty \frac{1}{(z-n)^2} \end{eqnarray}$
02.02.2012, 16:31	LadyRouge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit Mittag-Leffler weiß vilt noch jd rat was da schief läuft ?

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