Skalarprodukt "Winkel von Dreieck berechnen"

02.02.2012, 00:26

Asmodea

Skalarprodukt "Winkel von Dreieck berechnen"

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich zermürbe mir den Kopf über folgende Aufgabe. Diese besteht aus drei Teilen und bei B) haperts bei mir gewaltig, bei mir gehen die Winkelsummen nicht auf und ich weiss nicht ob der Fehler schon in A) liegt oder ich den erst in B) mache. Ich habe die Aufgabe schon mehrmals durchgestellt und komme selbst einfach nicht dahinter wo ich patze. Vielleicht erwischt ihr meinen blinden Fleck.

Hier nun die Aufgabe:

Ein Dreieck ABC hat die Ecken
A (1,-2,3)
B (3,0,4)
C (4, -2,-1)

Berechnen Sie:
A) die Seiten dieses Dreiecks
B) die Winkel dieses Dreiecks
C) den Winkel, den die Seitenhalbierende durch A mit der Seite AB einschliesst( da versteh ich nicht was die genau meinen aber so weit komm ich ja gar nicht)

Meine Ideen:
A)

1. Seite AB
$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\vec{r_{B}}-\vec{r_{A}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AB= \sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3=c \end{eqnarray*}$

2.Seite AC
$\begin{eqnarray*} \vec{AC}=\vec{r_C}-\vec{r_A}\Rightarrow \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AC=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}= \sqrt25=5=b \end{eqnarray*}$

3. Seite BC = AB +AC

$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} BC=\sqrt{5^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}= 6.16=a \end{eqnarray*}$

B)

1. Winkel alpha

$\begin{eqnarray*} cos\alpha =\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{bc} =\frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }{15} =\frac{2}{15} = 0.133 \end{eqnarray*}$

alpha = 82.36°

2. Winkel beta

$\begin{eqnarray*} cos\beta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{ac} =\frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }{18.48} =\frac{11}{18.48} = 0.595 \end{eqnarray*}$

beta= 53.49°

3. Winkel gamma

$\begin{eqnarray*} cos\gamma=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{ab} =\frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} }{30.8} =\frac{27}{30.8} = 0.877 \end{eqnarray*}$

gamma = 28.72°

tja... und das geht ja offensichtlich nicht auf, die Winkelsumme beträgt so 164.57° statt die erstrebenswerten 180.

02.02.2012, 00:38

riwe

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RE: Skalarprodukt "Winkel von Dreieck berechnen"
du mußt die vektoren RICHTIG wählen, also so, dass die spitze vom entsprechenden punkt IMMER WEG zeigt:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|} \end{eqnarray*}$

dann sollte die winkelsumme stimmen Augenzwinkern

02.02.2012, 00:39

original

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RE: Skalarprodukt "Winkel von Dreieck berechnen"

Zitat:

Original von Asmodea

Ein Dreieck ABC hat die Ecken
A (1,-2,3)
B (3,0,4)
C (4, -2,-1)

3. Seite BC = AB +AC unglücklich

$\begin{eqnarray*} \vec{BC}= \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}=\vec{a} \end{eqnarray*}$

smile

und dazu:
"..was die genau meinen aber so weit komm ich ja .. "

bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes M der Seite BC
AM ist dann die durch A gehende Seitenhalbierende..

und offenbar ist dann der Winkel zwischen den Vektoren AB und AM gefragt... Wink

02.02.2012, 00:42

lgrizu

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RE: Skalarprodukt "Winkel von Dreieck berechnen"
Der Fehler liegt bereits in Teil A, nämlich bei Berechnung der letzten Seite.

Sicherlich kannst du zwei Vektoren addieren, aber nicht die beiden Vektoren AB+AC

Skizze:

[attach]22961[/attach]

02.02.2012, 00:44

Asmodea

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Also... bitte nicht kreuzigen... @riwe... aber ist dies bei der Multiplikation...nicht wurscht *duck*

@original
Oha.. das muss ich mir morgen nochmals neu durchrechnen. Wenns "nur" daran gelegen hat. Bin ich ja schon fast wieder froh, hatte da bereits fundamentale Zweifel...obwohl... wenn ich mir den Patzer so ansehe... das war auch ein fundamentaler Fehler. Ahhr ich krieg das mit der Navigation der Pfeile noch nicht so recht hin, wie ich die addieren und subtrahieren muss damit ich dort hin komm wo ich hin will.

Danke für eure Bemühungen.

02.02.2012, 00:49

riwe

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Zitat:

Original von Asmodea
Also... bitte nicht kreuzigen... @riwe... aber ist dies bei der Multiplikation...nicht wurscht *duck*

NEIN

02.02.2012, 00:55

Asmodea

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Buh so spät funktionieren meine Schaltkreise nicht mehr richtig. Könnt ihr das alles aus dem Stehgreif heraus? Bin beeindruckt. Gott

So dann wünsch ich euch eine gute Nacht und nochmals danke für die Hilfe zu so später Stunde. Bin gespannt ob ich das morgen so hinkrieg dass es auch aufgeht Big Laugh

02.02.2012, 01:11

original

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Zitat:

Original von Asmodea
Bin gespannt ob ich das morgen so hinkrieg dass es auch aufgeht ..

- morgen wirst du sicher leicht erkennen , dass sich die Ergebnisse irgendwie
etwas unterscheiden, wenn du zB das Produkt u*v mit dem Produkt u*(-v) vergleichst smile

(und dass das dann für den Winkel beim Cosinus ne Rolle spielt)

- wenn du magst, kannst du die drei Innenwinkel des Dreiecks ABC zur Kontrolle schlicht auch noch
elementargeometrisch aus den drei bekannten Seitenlängen des Dreiecks berechnen (Cosinussatz .. und so..) Wink

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