Krümmung einer Parabel

02.02.2012, 01:38	turbomichi2	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung einer Parabel Hallo die 2. Ableitung stellt ja die Krümmung dar. Im Falle einer Normalparabel ergibt das ja 2 für alle x-Werte. Wenn die Krümmung aber überall konstant ist, sollte dann nicht ein Kreis herauskommen? Wo ist denn hier der Haken? danke
02.02.2012, 07:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist vereinfacht zu sagen, die zweite Ableitung stellt die Krümmung dar. Man kann nur sagen: die zweite Ableitung ist für das Krümmungsverhalten verantwortlich. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist der Graph einer Funktion linksgekrümmt, ist sie negativ, rechtsgekrümmt. Die Blickrichtung im Koordinatensystem geht dabei von links nach rechts. Die strenge Definition der Krümmung $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ findest du hier. Relevant ist der zweite Fall. Für eine Parabel $\begin{eqnarray} y = ax^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ berechnet man $\begin{eqnarray} \kappa = \frac{2a}{\left( 1 + 4a^2 x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ . Für einen Kreis $\begin{eqnarray} y = \sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ kommt $\begin{eqnarray} \kappa = - \frac{1}{r} \end{eqnarray}$ heraus. Das negative Vorzeichen rührt daher, daß man den Graphen der Funktion (strenggenommen ist es der obere Halbkreis) von links nach rechts durchläuft.
02.02.2012, 21:06	turbomichi2	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen dank hat mir weitergeholfen

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