Grenzwertbetrachtung an y=2x mit D=IR\{1}

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02.02.2012, 09:00	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbetrachtung an y=2x mit D=IR\{1} Wir haben in der schule vor kurzem mit der Grenzwertbetrachtung angefangen, ich habe soweit auch alles hinbekommen, ich komme allerdings noch nicht mit dieser Unstetigkeit zurecht. Ich habe soweit verstanden, was mein Lehrer da gerechnet hat, aber ich habe nicht verstanden was mir das bringt Also was mache ich da eigentlich? Es geht um die Formel y=2x mit dem Definitionsbereich D=IR\{1}. Ich habe mich von beiden Seiten an die Lücke angenähert. Zuerst die Annäherung von rechts: Es wird eine Folge (x_n) benötigt, die gegen 1 konvergiert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ und deren Folgeglieder alle größer als 1 sind. Dann bin ich auf die Folge $\begin{eqnarray} x_n = \frac{n+1}{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gekommen. Nun zur Grenzwertbestimmung: $\begin{eqnarray} \lim_{x_n \to 1 } f(x) = \lim_{x_n \to 1 } f(x_n) = \lim_{n \to \infty} f \left( \frac{n+1}{n} \right)=\lim_{n \to \infty} 2\frac{n+1}{n} = 2\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)= 2(1+0)=2 \end{eqnarray}$ Bei der linksseitigen Annäherung bin ich so vorgegangen: Es wird eine Folge (x'_n) benötigt, die gegen 1 konvergiert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ und deren Folgeglieder alle kleiner als 1 sind. Dann bin ich auf die Folge $\begin{eqnarray} x'_n = \frac{n-1}{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gekommen. Nun zur Grenzwertbestimmung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1 } f(x) = \lim_{x'_n \to 1 } f(x'_n) = \lim_{n \to \infty} f \left( \frac{n-1}{n} \right)=\lim_{n \to \infty} 2\frac{n-1}{n} = 2\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)= 2(1-0)=2 \end{eqnarray}$ Aber was hat mir das jetzt gebracht? Habe ich jetzt gezeigt, dass die funktion Unstetig ist?
02.02.2012, 10:04	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Definitionsbreich wurde die 1 ausgeschlossen, du hast nun gezeigt, dass der Grenzwert an der Stelle x=1 existiert und dass er gleich dem Funtkionswert an dieser Stelle ist, damit dürft die Funktion stetig sein. Grüße
02.02.2012, 10:13	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Merkwürdig. Die Funktion ist bei x=1 unstetig und stetig, habe ich das richtig verstanden?
02.02.2012, 10:24	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist natürlich (aufgrund des einschränkten Def Bereichs) nicht stetig in x=1, sie ist da ja nichteinmal definiert. Sie ist aber stetig fortsetzbar an der Stelle, was bedeutet, nimmt man die Lücke aus dem Def Bereich heraus, die Funktion an dieser Stelle stetig ist.
02.02.2012, 10:29	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube es sind drei Dinge die erfüllt wein müssen. Die erste Bedingung wäre, wenn ich mich nicht irre, dass die Funktion an der Stelle x=a (x=1) definiert sein muss. Das ist bei dir hier nicht der Fall => Funktion ist unstetig. Daran ändert auch die Grenzwertuntersuchung nichts. Man kann die Stelle aber beheben, denn mann kann "1 ist Element D" festlegen. Dann wäre die Funktion wieder stetig.
02.02.2012, 10:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
...und das bedeutet, sie ist stetig fortsetzbar (man spricht auch von hebbarer Def-Lücke). In deinem letzten Post hast du aber geschrieben, sie sei an der Stelle x=1 stetig, und das ist nicht der Fall.
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02.02.2012, 10:57	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was hat mir dann die Grenzwertbetrachtung gebracht, wenn ich sowieso weiß, dass die Funktion bei x=1 unstetig ist? @Igrizu Verstehe, durch die Grenzwertbetrachtung kann ich sozusagen die Linie des Graphen einfach durchziehen, weil ich sozusagen gezeigt habe, dass sie eine hebbare Def-Lücke besitzt.
02.02.2012, 11:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil es verschiedene Definitinslücken gibt. Betrachte einmal die Funktionen: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x^2-2x}{x-1} \end{eqnarray}$ Diese ist an der Stelle x=1 stetig fortsetzbar, also hebbare Definitionslücke (das ist im übrigen die Funktion aus deiner Aufgabe). Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x-1} \end{eqnarray}$ Diese ist an der Stelle x=1 nicht stetig fortsetzbar, die Rechts- und Linksseitigen Grenzwerte an die Definitionslücke sind unterschiedlich.
02.02.2012, 11:16	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist der Groschen gefallen Danke für eure Erklärungen
02.02.2012, 11:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch Fragen?
02.02.2012, 12:00	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, jetzt ist mir das alles klar Ich dachte man kommt Links und Rechts immer auf den gleichen Grenzwert, also bei allen Funktionen. Aber dem ist ja nicht so. Jetzt hab ich endlich verstanden, warum man das macht.

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