Frage zu z=max(x,y)

02.02.2012, 10:50

dj_mathe

Frage zu z=max(x,y)

Ich entschuldige mich für den Titel. Aber ich weiß nicht wie ich den noch aussagekräftiger formulieren soll ;-)

Also ich hab:

$\begin{eqnarray*} z=max(x,y) \end{eqnarray*}$

x,y,z sind ZV's und x,y sind stochastisch unabhängig

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} P_z(z_w)=P(z\leq z_w)=? \end{eqnarray*}$

Und der Ansatz lt. Lösung ist:

(1) $\begin{eqnarray*} P_z(z)=P(max(x,y)\leq z_w) \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} P_z(z)=P(x\leq z \wedge y\leq z) \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} P_z(z)=P(x\leq z)\cdot P( y\leq z) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber nicht so ganz warum. Und zwar hab ich Probleme
von Schritt 2 zu Schritt 3. Die W'keit, dass die ZV x kleiner gleich
einem bestimmenten $\begin{eqnarray*} z_w \end{eqnarray*}$ ist, ist doch nicht unabhängig
davon, dass die ZV y es ist. Wenn x=5, y=3. Dann ist z=max(x,y)=5.
Also müsste man doch die W'keit
$\begin{eqnarray*} P_z(z)=P(z\leq 5) \end{eqnarray*}$
berechnen oder nicht? Was hat das in dem Augenblick mit y=3 zu tun?
Irgendwie muss man da doch eine Vorentscheidung treffen oder nicht?

Vielen Dank! Christoph

02.02.2012, 13:57

ChronoTrigger

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Hallo,

du hast die Antwort auf deine Frage schon selbst hingeschrieben, denn laut Aufgabenstellung gilt:

Zitat:

Also ich hab:

$\begin{eqnarray*} z=max(x,y) \end{eqnarray*}$

x,y,z sind ZV's und x,y sind stochastisch unabhängig

Deine Notation ist etwas blöd gewählt, und es fehlt leider, was genau $\begin{eqnarray*} z_w \end{eqnarray*}$ sein soll, aber ich versuch mal, es so zu verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} F_Z(z_w)=P(Z \leq z_w)=P(max \{X,Y\} \leq z_w) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =P(X \leq z_w , Y \leq z_w) \end{eqnarray*}$ .

Nun lässt sich aber letzteres auch schreiben als $\begin{eqnarray*} P( \{ \omega \in \Omega | X(\omega) <=z_w , Y(\omega) \leq z_w) = P(\{ \omega \in \Omega | X(\omega) \leq z_w \} \cap \{\omega \in \Omega | Y(\omega) \leq z_w \} ) \end{eqnarray*}$

Siehst du vielleicht jetzt, wie die Unabhängigkeit ( die nach Aufgabenstellung gegeben ist) dabei eingeht?

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