LGS mit 6 Variablen und 3 Unbekannten

02.02.2012, 15:05	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit 6 Variablen und 3 Unbekannten Guten Tag, Ich hab ein kleines Problem bei der Arbeit. Es geht um 3d Konstruktion, dabei habe ich 3 Gleichungen : $\begin{eqnarray} I \ (x_{p}-x_{1})^{2}+(y_{p}-y_{1})^{2}+(z_{p}-z_{1})^{2}=r_{1}^{2}\\II \ (x_{p}-x_{2})^{2}+(y_{p}-y_{2})^{2}+(z_{p}-z_{2})^{2}=r_{2}^{2}\\III \ (x_{p}-x_{3})^{2}+(y_{p}-y_{3})^{2}+(z_{p}-z_{3})^{2}=r_{3}^{2} \end{eqnarray}$ So nun ist $\begin{eqnarray} x_{p}, y_{p}, z_{p} \end{eqnarray}$ unbekannt! Ich hab erstmal alles ausmultipliziert und versucht in eine Matrix zu packen, aber wenn ich versuche die z.B. erste und die dritte Gleichung zu addieren damit halt einiges wegfällt(Gauß-Verfahren?) klappt es nicht so ganz, da ja die gesuchten und bekannten vermischt sind. Um einen Rat wäre ich dankbar!
02.02.2012, 15:13	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht offenbar um das bekannte Problem "Schnittpunkt(e) dreier Kugeln". Betrachte nicht Summen, sodern Differenzen, z.B. I-II sowie I-III: Das ergibt zwei lineare Gleichungen, die geometrisch den Ebenen entsprechen, in denen die Schnittkreise von I,II sowie I,III liegen. Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kannst du schon mal zwei der drei Variablen $\begin{eqnarray} x_p,y_p,z_p \end{eqnarray}$ eliminieren. Es verbleibt nach der Elimination noch eine, quadratische Gleichung, die dann 0,1 oder 2 Lösungen hat, was dann eben den 0, 1 oder 2 möglichen Schnittpunkten der drei Kugeln korrespondiert.

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