Gruppenisomorphismus

02.02.2012, 15:31

Glug

Gruppenisomorphismus

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} D_{6}= \mathbb Z /2 \times D_{3} \end{eqnarray*}$ gilt (das "=" steht für Isomorphismus).

Meine Ideen:
Was muss ich da alles zeigen?
Meine Idee wäre, dass beide Seiten gleich viele Elemente haben müssen. Also die Diedergruppe 6 hat 2*6=12 Elemente. D3 hat 6 Elemente. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /2 \end{eqnarray*}$ hat Ordnung 2. Kann ich jetzt einfach 2*6=12 Elemente rechnen, stimmt das? Was muss ich sonst noch zeigen, damit die Isomorphie gilt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

02.02.2012, 16:05

galoisseinbruder

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Hallo,

zwei Gruppen sind isomorph wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Gesucht ist hier also ein konkreter Isomorphismus. Gleichmächtigkeit der gruppen ist notwendig aber nicht hinreichend: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/12 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat auch 12 Elemente ist aber nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 16:36

Glug

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Okay, ich habe leider schon immer ein Problem damit gehabt, Isomorphismen konkret zu zeigen. Also ich weiss, dass ein Isomorphismus ein bijektiver (also surjektiv und injektiv) Homomorphismus ist. Aber wie muss ich das konkret darstellen?

Ich weiss, dass das neutrale Element von D6 auf das neutrale Element von Z/2ZxD3 abgebildet werden muss. Wie weiter?

02.02.2012, 16:42

galoisseinbruder

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Wie sehen die Elemente der Diedergruppe aus? Das sollte einen Hinweis auf die Abbildung geben.

02.02.2012, 16:47

Glug

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Also D6 ist ein regelmässiges 6-Eck mit 6 Drehungen und 6 Spiegelungen. Die Spiegelachsen gehen entweder von Ecke-Ecke oder Kantenmitte-Kantenmitte. D3 ist regelmässiges 3-Eck mit 3 Spiegelungen und 3 Drehungen. Da das Produkt mit Z/2Z genommen wird, werden die Spiegelungen und Drehungen gerade verdoppelt? Hilft das etwas oder bin ich auf dem Holzweg? verwirrt

02.02.2012, 16:54

galoisseinbruder

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Zitat:

Also D6 ist ein regelmässiges 6-Eck

Das ist schlicht falsch. D6 ist die Menge der Drehungen und Spiegelungen (mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung). Ein n-Eck ist keine Gruppe.

Zitat:

Da das Produkt mit Z/2Z genommen wird, werden die

Wie ist das karteische Produkt zweier Gruppen definiert?

02.02.2012, 17:22

Glug

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Ja so meinte ich das eigentlich, das n-Eck ist wohl nur die Verbildlichung davon.

Beim kartesischen Produkt werden die Elemente zweier Mengen, jedes mit jedem kombiniert. Z/2Z hat 2 Elemente, nämlich 0 und 1, d.h. (0, a1), (0, a2), (0, a3), (1, a1), (1, a2), (1, a3), wobei a1-a3 die Spiegelungen sind. Das gleiche wird dann mit den Drehungen gemacht und ich erhalte so alle Elemente von Z/2Z x D3.
Stimmt das so oder gehe ich wieder in die falsche Richtung? Kann ich die Elemente von D6 einfach mit c1, ..., c6, d1, ..., d6 bezeichnen? Falls dies stimmen würde, was müsste ich dann als nächstes machen?

02.02.2012, 17:30

galoisseinbruder

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Beachte dass in der Diedergruppe auch solche Sachen wie Drehung, dann Spiegelung oder Spiegeln dann zweimal drehen usw. enthalten sind. Wie habt ihr denn in der Vorlesung die Diedergruppe notiert?

02.02.2012, 17:49

Glug

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Dn wurde als Gruppe aller orthogonalen Transformationen der Ebene (Zentrum in Koordinatenursprung) definiert, welche ein konvexes regelmässiges n-Eck invariant lassen. Dn wird durch die Drehungen um den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi }{n} \end{eqnarray*}$ defniert. Wobei die Ordnung der Drehungen d =n sind und diejenigen der Spiegelungen s =2... dsd=s^(-1)

02.02.2012, 17:58

galoisseinbruder

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Zitat:

dsd=s^(-1)

Wohl eher $\begin{eqnarray*} sds=d^{-1} \end{eqnarray*}$ . Es ist auch $\begin{eqnarray*} s^{-1}=s \end{eqnarray*}$ (anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} s^2=id \end{eqnarray*}$ )

Zeige doch mal:
$\begin{eqnarray*} D_n=\{ s^i d^j | i=0,1 \text{ und } j=0, \ldots , j-1 \} \end{eqnarray*}$

Mit der Darstellung überlege dir eine Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \times D_3 \to D_6 \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 18:12

Glug

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Hmmmm, also hätte ich dann folgende Kombinationen:
s0d0, s0d1, s0d2, s1d0, s1d1, s1d2 in D3

Dann würde ich sie wiederum mit den Elementen aus Z/2Z kombinieren (0 und 1) und dann würde ich diese Elemente irgendwie auf die Elemente von D6 schicken. Aber ob ich dort irgendwelche Regeln befolgen muss, weiss ich nicht. Habe aber irgendwie das Gefühl, dass ich wieder das gleiche schreibe wie vorhin und das schien ja falsch zu sein verwirrt

02.02.2012, 18:18

galoisseinbruder

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Zitat:

Dann würde ich sie wiederum mit den Elementen aus Z/2Z kombinieren (0 und 1) und dann würde ich diese Elemente irgendwie auf die Elemente von D6 schicken. Aber ob ich dort irgendwelche Regeln befolgen muss, weiss ich nicht. Habe aber irgendwie das Gefühl

Die Abbildung soll ein Gruppenisomorphismus werden. Die Eigenschaften einer solchen Abb. sollten dir bekannt sein.

Gesucht ist eine Abb.:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \times \{ s^i d^j | i=0,1 \text{ und } j=0, \ldots , 2 \}\to \{ s^i d^j | i=0,1 \text{ und } j=0, \ldots , 5 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(k,s ^i d^j)=? \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 22:13

Glug

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Sorry, ich steh voll auf dem Schlauch. Sehr wahrscheinlich servierst du mir hier die Lösung auf dem Silbertablett und ich sehs einfach nicht :-(

Isomorphismus:
Nehme ich zwei Elemente aus D6 si1dj1=a und si2dj2=b, dann muss gelten:
f(a*b)=f(a)*'f(b), wobei * die Verknüpfung in D6 ist und *' in Z/2ZxD3 ist

Dann sollte noch gelten, dass das neutrale Element von D6 auf das neutrale Element von Z/2ZxD3 abgebildet wird (dumme Frage: Wie sieht denn hier das neutrale Element eigentlich aus? Also bildlich kann ich mir das schon vorstellen und weiss auch wie das aussieht. Aber kann man das hier konkret aufschreiben oder sagt man einfach, dass s0d0 das neutrale Element ist?)

03.02.2012, 10:22

Glug

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Stimmen diese Elemente? Denn so könnte ich mir das besser vorstellen:
s=Spiegelung, d=Drehung

$\begin{eqnarray*} D_{3}= \left\{e3, s, d, s*d, d*s, d*d\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{6}= \left\{e6, s, d, d*s, d^{2}, d^{2}*s, d^{3}, d^{3}*s, d^{4}, d^{4}*s, d^{5}, d^{5}*s \right\} \end{eqnarray*}$

Was mir nicht klar ist: Z/2Z wird mit D3 verknüpft. Das würde ja heissen, dass ich ein f habe z.B. f(1, s*d) = ... Was passiert mit der 1?
Ist die 0 das neutrale Element in Z/2Z? Also wäre $\begin{eqnarray*} f(0, e_{3}) = e_{6} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(1, e_{3}) = e_{6} \end{eqnarray*}$ ? Ersteres oder? Was gäbe dann der 2. Ausdruck?

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