Beweis zur Surjektivität/Injektivität |
| 02.02.2012, 14:35 | Selene69 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis zur Surjektivität/Injektivität Seien V,W endlichdimensionale R-Vektorräume. zu zeigen: Wenn f:V->W eine injektive lineare Abb. ist, dann existiert eine surjektive Abb. g:W->V mit g o f= idV Meine Ideen: Wir haben uns überlegt, dass injektivität gleichbedeutend ist mit ker(f)= {0} also mit dim=0 und man dann mit dem Bild-Kern-Satz dim V = dim (ker(f)) + dim (im(f)) argumentieren kann... man erhält: dim V = dim (im(f))...und wenn man nun zeigen könnte, dass die Diemension von V und W gleich sind...müsst man doch automatisch ne bijektion bekommen und damit auch g o f = idV und genauso f o g = idW...oder? |
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| 02.02.2012, 15:11 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man aber nicht. V,W sollen ja beliebige endlich-dim Vektorräume sein. Eure Überlegungen bis dort hin sind aber richtig. Man könnte W geeignet in eine direkte Summe zerlegen, mit einem Teil auf dem die Bijektion von oben existiert. |
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| 02.02.2012, 16:33 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, danke für deine "ernüchternde" Antwort ;-) was ist denn eine bijektion "von oben"? und ich darf meinen Raum einfach so zerlegen? |
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| 02.02.2012, 16:42 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist kein spezieller Begriff, ich meinte damit die oben postulierte Bijektion von V auf Im(f) (bzw. W)
Ist der Begriff einer direkten Summe bekannt? Ich meine eine Zerlegung: für geeignetes U. |
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| 02.02.2012, 16:59 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
reicht es dann zu sagen, dass g nur von im(f) auf V abbildet und damit die surjektion zu kriegen? aber dann bleibt doch ein Teil von W unbeachtet..darf U da einfach rausfallen? |
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| 02.02.2012, 17:08 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ihr sollt eine Abb. definieren. Diese muss auf ganz W definiert sein. Überlegt auch wie man g auf U definieren kann, so dass gilt. |
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| 02.02.2012, 17:29 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tschuldigung für die Begriffstutzigkeit! Also, wenn wir g auch von U aus definieren, darf dieser teil von g doch nicht auf V abbilden, oder doch? Wir dachten uns, dass wenn wir ne Art Bijektion hinkriegen, automatisch g o f = id gilt kann man sowas eigentlich machen?: wenn wir W = im(f) + U haben gilt dann auch: dim W = dim im (f) + dim U - Schnitt der beiden...der gleich {0} gewählt werden kann dann könnt man aus: dim V = dim im (f) das machen: dim V = dim W - dim U womit dim V + dim U = dim W und dim W somit mindestens so groß ist, wie dim V, damit eine surjektive Abb möglich?! |
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| 02.02.2012, 17:33 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann muss ich meine Frage von oben nochmal stellen: Ist die direkte Summe bekannt?
Wieso sollte g das nicht dürfen? |
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| 02.02.2012, 17:35 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber warte mal..ist eine bijektion überhaupt notwendig?, könnt ich g nich auch doppelt auf Elemente aus V abbilden lassen? wie bekomm ich dann g o f hin? |
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| 02.02.2012, 17:41 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
g muss nur surjektiv sein. Bijektiv ist nicht nicht nötig, im Allgemeinen auch nicht möglich. |
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| 02.02.2012, 17:47 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, also ich kann also sagen, g bildet die Elemente von im(f) auf V ab und die Reste in U auch noch irgendwie nach V...wie bekomm ich g so hin, dass schon im(f) genau surjektiv ganz V abdeckt? darf ich da einfach sagen, dass g für Elemente aus im(f) gleich der inversen von f ist. |
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| 02.02.2012, 17:51 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, denn ist ein Isomorphismus, wie ganz anfangs bereits erwähnt. |
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| 02.02.2012, 17:53 | Selene | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist f ein Isomorphismus? Müsst es nicht nur ein Homomorphismus sein ist doch nicht zwingend surjektiv |
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| 02.02.2012, 17:58 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Tipp: Lass dir etwas mehr zeit bevor du postest. ist zwingend surjektiv. |
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