Verkettung dreier affiner Abbildungen

02.02.2012, 15:43

Schweinski

Verkettung dreier affiner Abbildungen

Hallöle!

Die Verkettung zweier affiner Abbildungen ist mir bekannt: Erst g, dann f.
$\begin{eqnarray*} f \cdot g = f(g(\vec{x} )) \end{eqnarray*}$

Aber wie funktioniert das bei drei affinen Abbildungen?
In folgender Beispielaufgabe sind f und g bekannt. Gesucht ist h.

$\begin{eqnarray*} f \cdot h \cdot f = g \end{eqnarray*}$

03.02.2012, 15:49

Schweinski

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Hier eine konkrete Beispielaufgabe zum Thema, bei der ich nicht weiterkomme:

Bestimmen sie für $\begin{eqnarray*} \alpha: \vec{x'} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta: \vec{x'} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \cdot \gamma \cdot \beta = \alpha \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} \alpha (\vec{x}) = A \vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta (\vec{x}) = B \vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma (\vec{x}) = C \vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^{-1} CB) \vec{x} = A \vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} CB = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} (A^{-1} CB) = A^{-1} A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^{-1} A^{-1}) CB = E \end{eqnarray*}$

03.02.2012, 16:07

Bjoern1982

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Was du machst ist nicht falsch aber leider auch nicht zielführend (denn du willst ja nach C auflösen).
Gehen wir also nochmal hiervon aus:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^{-1} CB = A \end{eqnarray*}$

Nun überlege dir zunächst mit welcher Matrix du die linke Seite von links multiplizieren musst, damit links von C schonmal nichts mehr steht.

03.02.2012, 16:45

Schweinski

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Ich müsste, wenn ich das jetzt richtig deute, von links mit A multiplizieren.
Dann würde A * A^-1 = E ergeben und wegfallen.

03.02.2012, 17:34

Bjoern1982

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Ganz genau, damit stört also nur noch das B rechts.
Weißt du wie es weiter geht ?

03.02.2012, 17:57

Schweinski

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Wäre folgendes möglich? :

$\begin{eqnarray*} (A^{-1} CB) \vec{x} = A \vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} CB = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A (A^{-1} CB) = A* A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A A^{-1}) CB = A * A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C * B = A * A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C * B * B^{-1} = A * A * B^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = A^2* B^{-1} \end{eqnarray*}$