Konvergenz eine Reihe mit a > 0

02.02.2012, 16:09

KurzeFrage34

Konvergenz eine Reihe mit a > 0

Hallo

Meine Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie sämtliche Werte von a > 0, für welche die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a^n}{1+a^n} \end{eqnarray*}$
konvergiert.

Meine Idee:
Ich habe mir den Graphen angeschaut, und sah, dass die Reihe bei $\begin{eqnarray*} a \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und konvergiert und bei $\begin{eqnarray*} a \in ]1,\infty[ \end{eqnarray*}$ divergiert.

Ich weiß nicht ob dies der richtige ansatz/überlegung ist und ich weiß nicht wie ich das schreiben soll?

02.02.2012, 16:13

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz eine Reihe mit a > 0
Du meinst also, für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert diese Reihe?

Davon abgesehen stimmt der Rest, fehlt jetzt natürlich noch eine ordentliche Begründung (z.B. Majorantenkriterium).

02.02.2012, 16:16

LadyRouge

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz eine Reihe mit a > 0
versuch einfach mal ein kriterium anzuwenden

und schau dann wie a gewählt werden muss um die voraussetzungen des kriteriums bzgl konvergenz zu erfüllen smile

02.02.2012, 16:41

KurzeFrage34

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden!

Also mein ergebnis:

Für $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_k| = | \frac{a^n}{a^n +1} | = ( \frac{a}{a +1} )^n < \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Da die harmonische Reihe divergiert, deswegen divergiert auch $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_k| = | \frac{a^n}{a^n +1} | = ( \frac{a}{a +1} )^n = ( \frac{1}{2} )^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Da die geometrische Reihe für |x|<1 konvergiert (hier wäre x:=1/2), so konvergiert deswegen auch $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$
JA da fehlt mich die idee ^^"

02.02.2012, 16:46

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach diesem Erklärungs-Desaster streiche ich meinen Satz von oben:

Zitat:

Original von René Gruber
Davon abgesehen stimmt der Rest

Da weiß man ja gar nicht, wo man anfangen soll - vielleicht damit:

1.Es gilt NICHT $\begin{eqnarray*} a^n+1 = (a+1)^n \end{eqnarray*}$ . geschockt

2.Die Abschätzung einer positiven Reihe NACH OBEN durch eine divergente Reihe ist schlicht und einfach nutzlos: Das sagt überhaupt nichts darüber aus, ob die Originalreihe konvergent oder divergent ist. unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz eine Reihe mit a > 0

Verwandte Themen