Surjektivität und Injektivität prüfen

02.02.2012, 16:45

Dome91

Surjektivität und Injektivität prüfen

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \Rightarrow \mathbb C , z \Rightarrow \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

Die 0 ist im In- und Output ausgeschlossen. Kann mir jemand nen Tip geben, wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen kann?

02.02.2012, 17:21

galoisseinbruder

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Möglichkeit 1: Zeigen, dass f die Def. von in- und surjektiv erfüllt.
Möglichkeit 2: Die Inverse Abbildung angeben.

Ach ja ich gehe davon aus, dass wir die Abb. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \backslash \{0\} \to \mathbb C \backslash \{0\} ; z \mapsto \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ betrachten.
Und was ist bitte In- und Output?

02.02.2012, 17:30

Dome91

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Zitat:

Original von galoisseinbruder

Ach ja ich gehe davon aus, dass wir die Abb. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \backslash \{0\} \to \mathbb C \backslash \{0\} ; z \mapsto \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Die meine ich, nur wenn ich den backslash gemacht habe hat der den im editor nich angezeigt und die klammern umd die 0 auch nicht... mit input/output meinte ich domain und range.

Klar das ich irgendwie zeigen muss das die Voraussetzung für Injektivität / Surjektivität erfüllt/ nicht erfüllt ist... aber dafür muss ich die Funktion doch zeichnen oder?

02.02.2012, 17:38

galoisseinbruder

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Zitat:

Klar das ich irgendwie zeigen muss das die Voraussetzung für Injektivität / Surjektivität erfüllt/ nicht erfüllt ist... aber dafür muss ich die Funktion doch zeichnen oder?

Die Abb. zu zeichnen ist etwas schwierig, da der Graph 4-dimensional ist. Wie ist denn die offizielle Def. von In/Surjektiv? (über die def. geht´s eigentlich immer einfacher als über Zeichnung)

\ und { sind in LaTeX Steuerzeichen, werden also nicht angezeigt. Wie man diese trotzdem kriegen kann siehst du in meinem obigen Code

02.02.2012, 17:42

Dome91

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Injektiv: Zu jedem y höchstens ein x
Surjektiv: Zu jedem y mindestens ein x

02.02.2012, 17:46

galoisseinbruder

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na dann:
Injektiv: Nimm an es gäbe $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ und bastle einen Widerspruch.
Surjektiv: Gib zu einem beliebigem $\begin{eqnarray*} 0\neq y \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein x an mit $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x}=y \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 17:56

Dome91

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Das die Funktion nicht injektiv ist kann ich ja zeigen mit

$\begin{eqnarray*} f(e^{j*pi}) = f(e^{j3pi}) \end{eqnarray*}$

Zur Surjektivität

meinst du da das ich sage y = -j und jetzt suche ich dazu das passende x?

02.02.2012, 18:03

galoisseinbruder

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Zitat:

Das die Funktion nicht injektiv ist kann ich ja zeigen mit $\begin{eqnarray*} f(e^{j*pi}) = f(e^{j3pi}) \end{eqnarray*}$

Nur blöd dass die Abbildung injektiv ist.
Ich nehme j steht für die imaginäre Zahl i?
Dann ist $\begin{eqnarray*} e^{2i\pi}=1 \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} e^{i \pi}=e^{3i\pi} \end{eqnarray*}$ also ist nichts gezeigt.

Zitat:

meinst du da das ich sage y = -j und jetzt suche ich dazu das passende x?

Nein. Für irgendein y. Das kannst du nicht fest wählen. (Außer natürlich du willst zu jeder komplexen Zahl explizit ein Urbild angeben, viel Spass dabei.)

02.02.2012, 18:08

Dome91

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Das ist natürlich blöd...

Wie kann ich es dann zeigen ?!

02.02.2012, 18:10

galoisseinbruder

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Zitat:

na dann: Injektiv: Nimm an es gäbe $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ und bastle einen Widerspruch. Surjektiv: Gib zu einem beliebigem $\begin{eqnarray*} 0\neq y \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein x an mit $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x}=y \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 18:19

Dome91

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Bei Injektivität dann mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z_{1} } = \frac{1}{z_{2} } \end{eqnarray*}$

?

02.02.2012, 18:22

galoisseinbruder

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ja. Und weiter?

02.02.2012, 18:31

Dome91

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Kann ich umformen zu

$\begin{eqnarray*} z_{1} = z_{2} \end{eqnarray*}$

Und daraus kann ich schließen das es für jedes y höchstens ein x gibt, richtig?

Muss ich das dann für Surjektivität auch umformen?
Dann hätte ich doch bei der Aufgabe hier:

$\begin{eqnarray*} z * z = 1 \end{eqnarray*}$

?

02.02.2012, 18:36

galoisseinbruder

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Zitat:

Kann ich umformen zu $\begin{eqnarray*} z_{1} = z_{2} \end{eqnarray*}$ Und daraus kann ich schließen das es für jedes y höchstens ein x gibt, richtig?

Ja.

Zitat:

Dann hätte ich doch bei der Aufgabe hier: $\begin{eqnarray*} z * z = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Wie kommst du darauf?

02.02.2012, 18:39

Dome91

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$\begin{eqnarray*} z -> \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

ist doch gleichbedeutend mit

z = 1 / z oder ?

dann kann ich das doch auch einfach umstellen, oder?

02.02.2012, 18:40

Dome91

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ich glaub das war mist was ich geschrieben hab verwirrt

02.02.2012, 18:49

Dome91

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Die Voraussetzung für Surjektivität ist ja zu jedem y mindestens ein x - das heißt wenn es eine Definitionslücke gäbe, wäre keine surjektivität gegeben. Aber da die einzige Definitionslücke ausgeschlossen ist, ist die Fkt. surjektiv, richtig? smile

02.02.2012, 18:54

galoisseinbruder

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Wenn du meine Hilfe nicht haben willst sags. Ich hab jetzt bereits zweimal geschrieben was du tun sollst. Fragen dazu kamen von dir nicht nur irgendwelche absurden anderen Vorschläge.

02.02.2012, 18:57

Dome91

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = y \end{eqnarray*}$

und das dann nach x umformen ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} = x \end{eqnarray*}$

?!

02.02.2012, 18:59

galoisseinbruder

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Und das ist die Lösung. $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{y})=y \end{eqnarray*}$

02.02.2012, 19:02

Dome91

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Also ist die Funktion injektiv und surjektiv.

danke Freude