Basiswechsel - Verständnisfrage

02.02.2012, 16:15

in_line

Basiswechsel - Verständnisfrage

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe offenbar einen groben Denkfehler beim Basiswechsel.

Gegeben sind:

Basis A, bestehend aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basis B, bestehend aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich drücke die Vektoren von A mit den Vektoren von B aus und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 & 1.5 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist die Transformationsmatrix A->B.

Hier ist jetzt mein Verständnisproblem: Die Transformationsmatrix schluckt ja Vektoren der Basis A. (1|0) wäre also der Vektor (1|1) der Basis A, denn er nimmt ja Koordinaten der Form A. (1|0) entspricht in A dem ersten Basisvektor (1|1). Dieser müsste somit also auf (2|2) abgebildet werden. Dem ist aber nicht so. Wenn ich (1|0) auf die Basis anwende, kommt (0.5|0) heraus.

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Keine Ahnung unglücklich

02.02.2012, 17:30

Elvis

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Dass Matrizen Vektoren schlucken ist mir neu. Augenzwinkern

Verstehen wir unter Basiswechsel eine lineare Abbildung, die eine Basis A auf eine Basis B abbildet, so sähe das so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dieses Gleichungssystem in a,b,c,d lässt sich leicht lösen und ergibt eine andere Matrix als die von dir angegebene.

02.02.2012, 19:51

in_line

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Danke für die Antwort!

In der Vorlesung haben wir diese Gleichung zu einem Satz umgeformt: Die Spalten der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} T^{A}_{B} \end{eqnarray*}$ sind genau die Vektoren der Basis A ausgedrückt durch Linearkombination der Vektoren der Basis B bzw. die Koeffizienten, die man bei den Vektoren der Basis B braucht, um die Vektoren von A damit auszudrücken.

Genau das habe ich hier gemacht:

Wenn v_1 = (1|1)', v_2 = (1|2)' die Vektoren der Basis A sind und w_1 = (2|2)', w_2 = (2|1)' die Vektoren der Basis B,
so ist v_1 = (1/2)*w_1 + 0*w_2 und v_2 = (3/2)*w_1 - w_2.

Deshalb ist die erste Spalte (1/2 | 0)' und die zweite (3/2 | -1)'.

Die lineare Abbildung ist in dem Fall ein Endomorphismus, es sind zwei Basen zu einem VR (in dem Fall R²).

Danke im Voraus!

02.02.2012, 20:26

DerJoker

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RE: Basiswechsel - Verständnisfrage
Hi in_line,

ich bin mir nicht sicher ob ich dich richtig verstehe...

Zitat:

Original von in_line
Hier ist jetzt mein Verständnisproblem: Die Transformationsmatrix schluckt ja Vektoren der Basis A. (1|0) wäre also der Vektor (1|1) der Basis A, denn er nimmt ja Koordinaten der Form A.

Hier fängt es leider schon an. Was meinst du damit ? Der Vektor (1|1) ist ein Basisvektor der Basis A.

Zitat:

Du erhälst bei der Multiplikation von $\begin{eqnarray*} T^{A}_{B} \end{eqnarray*}$ mit (1|0) die Koordinaten mit denen der Vektor (1|1) bezüglich der Basis B darstellbar ist.

02.02.2012, 20:45

in_line

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Ah klar! D.h. ich erhalte die Koordinaten (0.5|0) in B, was (1|0) in A entspricht, was wiederum (1|1) in der Standardbasis entsprechen würde.

Ich habe vergessen, dass (1|1) nur die Darstellung des Vektors (1|0) von A mit der Standardbasis ist.

Stimmt das so?

02.02.2012, 21:55

DerJoker

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Ja. Ich denke du meinst das richtige Freude

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