Grenzwert einer Folge, Epsilon-Umgebung

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rawfood Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge, Epsilon-Umgebung
Hallo Leute,

Ich begreife das Thema Folgen und Reihen noch nicht so richtig. Aus diesem Grund habe ich durch Google ein Interessantes Arbeitsblatt gefunden. Dort bin ich über eine Beispielaufgabe gestoßen. Ich verstehe dabei nicht den Schritt.



Ich verstehe nicht warum die -1 durch n+1 im Zähler wie im Nenner ersetzt werden darf und welcher Gedanke dahinter steckt.

Die ursprüngliche Aufgabenstellung lautet: Überprüfe ob die Folge den Grenzwert g=1 hat. Dazu wird eine Eppsilon Umgebung von 0.01 angenommen.

Danke für eure Tipps.

Lg
Rawfood
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge
Zitat:
Original von rawfood
Ich verstehe nicht warum die -1 durch n+1 im Zähler wie im Nenner ersetzt werden darf

Warum sollte man das nicht dürfen? Es ist doch völlig in Ordnung, die 1 etwas umzuformen. Es ist doch



Da macht man doch nichts falsch.

Warum man das macht, siehst du von selber, wenn du jetzt mal einen Schritt weiter gehst. Du kannst das, was da im Betrag steht, jetzt sehr vereinfachen.
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, jetzt wo du es sagst wird es mir auch klar. Theoretisch könnte ich statt n+1/n+1 auch n/n schreiben, da es ja dasselbe wie 1 wäre. Nur bringt es mir nicht die Vorteile wie n+1/n+1. Vielen Dank. Damit ist mir alles klar.

Lg
Rawfood
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Mal schnell noch eine Bemerkung, die rawfood aber vielleicht nicht mehr lesen wird.
Es wird die 1 ja nicht einfach durch einen günstigen Bruch ersetzt, der die folgende Rechnung vereinfacht, sondern es wurde der Hauptnenner gebildet und die Subtraktion ausgeführt. Augenzwinkern
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Phymalehrer, diese Erklärung machts mir noch einfacher. Bisher hatte ich es unter Kunstgriff abgehakt und hab mich damit abgefunden, dass man für solche Schritte etwas Erfahrung benötigt. Die Tatsache, dass die 1/1 im Nenner und gleichzeitig auch im Zähler erweitert wurde, machts mir natürlich viel einfacher.

Freude
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nutze den Thread um ein anderes Problem mit Folgen zu verstehen. Und zwar steht in der Aufgabenstellung, dass ich für eine Folge zeigen soll, dass diese den Grenzwert 1/2 hat. Wie zeige ich das?











So habe ich doch aber nur gezeigt, dass ab dem 50. Element ich mich in meiner Epsilonumgebung befinde. Wie zeige ich nun, dass die Folge den Grenzwert 1/2 hat?
 
 
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

so: oder einfacher, wenn du das n² ausklammerst
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Warum habe ich dadurch gezeigt, dass der Grenzwert von der Folge 1/2 ist?

Ich hab gerade mal ein wenig umgeformt:







Vermutlich müsste ich 1/2 herausbekommen... oder? Weiß einer wo ich welchen Fehler gemacht habe?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rawfood




Aus Differenzen und Summen, da kürzen nur die Dummen. Da liegt auch dein Fehler.

Du solltest dir auch noch einmal die Definition der Folgenkonvergenz ansehen, da scheinen bei dir noch Lücken zu sein.
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt kann ich mir unter den mathematischen Definitionen überhaupt nichts vorstellen. Gibt es nicht etwas wie Mathematische Definitionen lesen für Dummies?

Definition: Ich habe eine Folge mit Index n. Diese heißt konvergent, wenn eine reele Zahl a existiert, sodass für jede Epsilonumgebung ein Folgenglied n0 existiert? wobei der Funktionswert n0 von (epsilon) aus der Menge der natürlichen Zahlen ist, und es gilt, dass unser letztes Folgenglied substrahiert mit a im Betrag in unserer Epsilonumgebung liegt.

Was fang ich nun damit an?

Wenn a existiert ist a, der Grenzwert der Folge und ist unendlich angenähert gleich unserem Grenzwert a.

Mhm.

Soll das heißen ich muss folgendes zeigen: , wenn ich z eigen soll, dass der Grenzwert gegen 1/2 geht?

Entschuldigt, wenn die Frage jetzt völlig falsch ist. Mit dem Erkenntnisgewinn aus Mathematischen Definitionen tue ich mich sehr schwer. Falls jemand Tipps hat wie man als Anfänger mit Mathematischen Definitionen umgeht. Bitte her damit.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rawfood
Definition: Ich habe eine Folge mit Index n. Diese heißt konvergent, wenn eine reele Zahl a existiert, sodass für jede Epsilonumgebung ein Folgenglied n0 existiert? wobei der Funktionswert n0 von (epsilon) aus der Menge der natürlichen Zahlen ist, und es gilt, dass unser letztes Folgenglied substrahiert mit a im Betrag in unserer Epsilonumgebung liegt.

Was fang ich nun damit an?

Damit fängst du nichts an, weil da noch einiges falsch, allenfalls aber sehr unsauber formuliert ist, was du da schreibst.

Wir haben eine Folge an und wollen zeigen, dass der Grenzwert a ist. Dazu setzen wir ein Epsilon > 0 .Bedenke, Epsilon kann beliebig klein sein, Hauptsachem größer 0). Oben war es 0,01, man hätte aber auch 0,000000001 nehmen können. Im Allgemeinen setzt man für Epsilon aber überhaupt keine konkrete Zahl ein, sondern sagt einfach "Sei Epsilon > 0". Dann gilt das auch für wirklich jedes Epsilon. Man kann dieses n0 ja auch einfac in Abhängigkeit von Epsilon angeben.

Nun betrachten wir |an-a|<Epsilon.

Indem wir nun zeigen, dass es einen Folgenindex n0 gibt, für das diese Ungleichung erfüllt ist, weisen wir nach, dass der Abstand zwischen den Folgenglieder und dem Grenzwert a kleiner als Epsilon wird (und damit beliebig klein).

Das n0 steht dabei dann für das n0-te Folgenglied. Das heißt, alle Folgenglieder ab Index n0 haben einen Abstand zum Grenzwert a, der kleiner als Epsilon ist.

Du kannst dir das wie so eine Art "Schlauch" um den Grenzwert a vorstellen. Einen hauchdünnen Schlauch, der den Radius Epsilon hat. Zeigen wollen wir nun, dass irgendwann, wenn man das n0 nur ausreichend groß wählt, alle Folgenglieder mit Index größer n0 innerhalb dieses Schlauches liegen. Dann konvergiert die Folge nämlich gegen a, weil der Abstand von den Folgengliedern zu a "unendlich klein" wird.

Im Wesentlich zeigt man damit:

rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mulder. So formuliert macht es auch gleich viel mehr Sinn. Mir sprudeln solche Formulierungen beim Lesen einer mathematischen Definition nicht aus dem Kopf. Beim Lesen einer Definition fällt es mir schwer mich auf das wesentliche zu konzentrieren. Ich verliere mich in den Symbolen. Oftmals bekomme ich den Sinn dahinter einfach nicht zusammen.



Ich mach hier erstmal eine Pause.
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun mal den Zähler sowie Nenner mit einer unendlich großen Zahl angenähert. Der Zähler konvergiert gegen 0, und der Nenner gegen 2. Was sagt mir das nun? Wenn ich zeigen soll, dass diese Folge gegen 1/2 konvergiert, ich aber zeige, dass die Folge an gegen Null konvergiert, dann muss ich irgendwo bei meiner Umformung ein Fehler gemacht haben. Bitte um Hilfe.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rawfood
Ich habe nun mal den Zähler sowie Nenner mit einer unendlich großen Zahl angenähert. Der Zähler konvergiert gegen 0, und der Nenner gegen 2.

Das geht doch völlig an dem vorbei, was du eigentlich machen sollst. Du sollst die ganze Ungleichung nach n auflösen!

Zitat:
Original von rawfood
Wenn ich zeigen soll, dass diese Folge gegen 1/2 konvergiert, ich aber zeige, dass die Folge an gegen Null konvergiert, dann muss ich irgendwo bei meiner Umformung ein Fehler gemacht haben.

Auf der linken Seite bist du doch anfangs von ausgegangen. Ganz am Anfang stand das hier da:



Du hast mit deinem Einsetzen von großen Zahlen also lediglich festgestellt, dass gegen 0 konvergiert, und das ist gleichbedeutend damit, dass gegen konvergiert. Also alles in Butter.

Ein bisschen konzentrieren...
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die klare Ansage.















So, ich hoffe das ist korrekt. Aber was hat es mir nun gebracht?
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Gestern stand ich total auf dem Schlauch. Am Vortag war ich bis morgends früh wach. Der Schlafmangel hat mich total am konzentrierten lernen gehindert. Entschuldigt, wenn meine Fragen etwas unangebracht waren.









Sind die Umformungsschritte korrekt? Mein n ist für Epsilon 0,01 = 4,191
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rawfood


So, ich hoffe das ist korrekt. Aber was hat es mir nun gebracht?

Na, das hier:

Zitat:
Original von Mulder
Das n0 steht dabei dann für das n0-te Folgenglied. Das heißt, alle Folgenglieder ab Index n0 haben einen Abstand zum Grenzwert a, der kleiner als Epsilon ist.


Das n0 ist hier eben dasjenige kleinste n, das diese Ungleichung erfüllt. Zum unteren Beispiel noch etwas mehr dazu.



Im Normalfall steht links irgendeine total krumme Zahl. Würde man diese nun bei fest vorgegebenem Epsilon ausrechnen, würde man das zur nächstgrößeren natürlichen Zahl aufrunden und hätte dann rausgefunden, ab welchem Folgenindex alle weiteren Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert haben, der kleiner als Epsilon ist.

Zitat:
Original von rawfood


Sind die Umformungsschritte korrekt? Mein n ist für Epsilon 0,01 = 4,191

n=4,191 macht ja nun wenig Sinn. Also aufrunden auf n=5.

Und nun wirklich mal nachschauen, ob das hinhaut. Offenbar betrachtest du jetzt die Folge



Deren Grenzwert ist null. Wir schauen also, ob die Ungleichung



für n=5 auch wirklich erfüllt ist. Bei deinen Rechnungen kamst du auf n>4,191. Für n=4 würde es also noch nicht gelten dürfen. Im Taschenrechner eingeben liefert



Passt also, für n=4 ist der Abstand zum Grenzwerrt 0 tatsächlich noch größer als 0,01.

Setzen wir n=5 ein:



Passt.

Für n>5 wird es auch passen, egal, was du da einsetzt. Ab Index n=5 liegen also alle weiteren Folgenglieder in dieser Epsilon-Umgebung (diesem "Schlauch" um 0).
rawfood Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, super vielen Dank Mulder. Gott Jetzt gibt das im gesamten einen Sinn für mich!!!!!
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