Taylorreihe cos(x)

02.02.2012, 22:20	rox	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe cos(x) Hallo, wir haben heute die Taylorreihe von cos(x) in der Vorlesung hergeleitet. Dabei haben wir festgestellt, dass: $\begin{eqnarray} f^{k}(0) \end{eqnarray}$ = 1 , k=4m 0 , k=4m+1 -1 , k=4m+2 0 , k=4m+3 Daraus haben wir die Taylorreihe erstellt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^\infty \frac{1}{(4m)!}x^{4m}+\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{(-1)}{(4m+2)!}x^{4m+2}= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} }{(2k)!}x^{2k} \end{eqnarray}$ Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich nicht weißt, wie er die beiden Summen so addiert hat, damit das Ergebnis rauskommt. Normalerweise rechnet man ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_{i}+\sum\limits_{i=1}^n b_{i}=\sum\limits_{i=1}^n (a_{i}+b_{i}) \end{eqnarray}$ Aber das bekomme ich hier irgendwie nicht hin. Gruß rox
03.02.2012, 11:55	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^\infty \frac{1}{(4m)!}x^{4m}+\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{(-1)}{(4m+2)!}x^{4m+2}= \sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac1{(4m)!}x^{4m} - \frac1{(4m+2)!}x^{4m+2}\right)= \sum\limits_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{m} }{(2m)!}x^{2m} \end{eqnarray}$ Setz für m einfach mal 0, 1 und 2 ein und schau, was für Indizes du erhältst. Dann siehst du, was passiert.

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