Komplizierte Integrale ?!

03.02.2012, 04:01

weinstein

Komplizierte Integrale ?!

Meine Frage:
Da bei mir in der nächsten Woche Klausur ansteht und ich aus dem lernen nicht mehr rauskomme, wollte ich mal wissen ob ich mich bei den folgenden Aufgaben verhauen habe oder ob man die so rechnen kann:

1. $\begin{eqnarray*} \int \! tan²\sqrt{x} \, dx \qquad x(0,\pi²/4) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{sin(3t)}{exp(3t)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe 1. mit Zerlegung des Tangens und anschliessender Substitution gelöst und $\begin{eqnarray*} tan\sqrt{x} - \sqrt{x} + \mathbb R \end{eqnarray*}$ erhalten

Bei 2. habe ich durch 2fache partielle Integration und Grenzwertbildung 0 erhalten

EDIT von Calvin
LaTeX-Tags eingefügt

03.02.2012, 04:20

weinstein

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Sehe gerade das man die 2. mit Laplace Transformation lösen kann oder nicht? Müsste dann 1/6 rauskommen!?

Bei 1. soll das hinter dem Integral der Defi Bereich sein!

03.02.2012, 22:53

weinstein

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Ist das den so richtig???

04.02.2012, 00:13

original

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Zitat:

Original von weinstein
Ist das den so richtig???

hast du selbst schon mal die Probe gemacht und geschaut, ob die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} tan\sqrt{x} - \sqrt{x} + c \end{eqnarray*}$

wieder dies gibt:

$\begin{eqnarray*} tan²\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

unglücklich

2. $\begin{eqnarray*} \int \frac{sin(3t)}{exp(3t)} \, dx = ? \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} F(x)= - \frac{1}{6}\cdot e^{-3x} \cdot \left[sin(3x) +cos(3x)\right] \end{eqnarray*}$
könnte deine zweite Vermutung stimmen verwirrt

04.02.2012, 02:20

weinstein

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Hab das gerade mal in Wolfram Alpha eingegeben und gesehen was da wohl rauskommen soll. Äh... wie soll man da in einer klausur drauf kommen Hammer

? Das ist nämlich eine Klausuraufgabe und zwar aus einer Klausur für Ing. und nicht für Mathematiker!!!
Kann mir da wer einen Lösungsvorschlag geben bzw den Rechenablauf erklären!!! Danke schonmal vielmals im vorraus!

Hab mir bei Wolfram gerade die Steps angeschaut... Ist für ne Klausur meiner Meinung nach ein Scherz, da man für die Aufgabe ca 10min Zeit hat!

04.02.2012, 09:49

Huggy

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Zitat:

Original von weinstein
Hab mir bei Wolfram gerade die Steps angeschaut... Ist für ne Klausur meiner Meinung nach ein Scherz, da man für die Aufgabe ca 10min Zeit hat!

Die Schritte sind doch recht naheliegend. Nur würden die meisten nicht den Sekans verwenden.

Die Substitution $\begin{eqnarray*} y=\sqrt x \end{eqnarray*}$ ist wirklich naheliegend. Und dann den Tangens mal durch den Sinus und Cosinus auszudrücken, ist auch nicht fernliegend.

$\begin{eqnarray*} \tan^2 x =\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}-1 \end{eqnarray*}$

Und wenn man sich dann noch an

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \tan x = \frac {1}{\cos ^2 x} \end{eqnarray*}$

erinnert, wird man jetzt eine partielle Integration in Betracht ziehen. Danach bleibt noch der reine Tangens zu integrieren. Und das sollte kein Problem sein.

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