gradientenverfahren, krit. punkte

03.02.2012, 10:16	absi	Auf diesen Beitrag antworten »
gradientenverfahren, krit. punkte hallo, eine frage zum gradientenverfahren. es geht um die kritischen punkte. bei dem verfahren geht man ja immer in die richtung des steilsten abstiegs und bestimmt dann das minimum, heißt den punkt, an dem eine niveaulinie berührt wird. dann wird von dem punkt aus weiter gegangen und das verfahren fortgesetzt bis zum schluss. meine frage: es wird nun von kritischen punkten gesprochen, an denen ein minimum vorliegen könnte. ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, was die kritischen punkte sind: - sind es jeweils die berührpunkte mit den niveaulinien - oder sind es die punkte, an denen es nicht mehr weiter geht, also der punkt in der mitte praktisch? vielen dank für eure antwort
03.02.2012, 11:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
weder noch. In kritischen Punkten ist der Gradient der Nullvektor. Das kann dann ein Extremum oder ein Sattelpunkt sein. Mit dem Gradientenverfahren versucht man ein Extremum zu finden, wenn die Lösung von Gradient = Nullvektor analytisch zu schwierig ist . Man ratet dann einen Startwert und hofft darauf, dass der Streckenzug senkrecht zu den Niveaulinien zum Ziel führt Ein triviales Beispiel : $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ hat in (0,0) ein Minimum $\begin{eqnarray} \nabla f(x,y)=\binom {2x}{2y} ~Startwert \, sei ~\vec x_0= (2,3)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x_1 = (2,3)^T - h \binom {4}{6} \end{eqnarray}$ h ist nun nicht zu klein und nicht zu klein zu wählen. Etwa h=0.25 $\begin{eqnarray} \vec x_1 = (2,3)^T - 0.25 \binom {4}{6} =(1,1.5)^T \end{eqnarray}$ usw... Zur Illustration ein wahres physikalisches Problem: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac {\sqrt{2-2y}\sqrt{x^2+y^2-2y+1}}{1-y}+\frac {(\sqrt{2}-\sqrt{2-2y})\sqrt{x^2+y^2-2x+1}}{y} \end{eqnarray}$ Klar, warum hier Gradient = Nullvektor Probleme bereitet?
04.02.2012, 14:57	absi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort und dass du dir so viel mühe bei dieser gemacht hast. ich werde nochmals darüber nachdenken, aber es klingt schon sehr gut für mich so.

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