Differentialgleichung...Oo???

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03.07.2004, 23:31

Cosinus

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Differentialgleichung...Oo???

Hallo

Proffesoren würden sicher sagen dass die Lösung trivial ist, Augenzwinkern

aber ich weiß nich wohin mit den beiden Konstanten traurig

...

DGL: $\begin{align*} ay'+ y = b \end{align*}$

Lösung soll sein:

y = K * e^(-x/a) + b
(sorry konnte im Formeleditor keine längeren Exponenten nach dem e eingeben, muss halt so gehen Augenzwinkern

)

Wäre super wenn mir jemand erklären könnte wie ich das lösen kann smile

THX

04.07.2004, 00:06

Poff

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RE: Differentialgleichung...Oo???
Differentialgleichungen der Form

a*y' + b*y + c = 0 ..... a,b <> 0

haben alle eine solche Lösung:

$\begin{align*} y(x)\,=\,\frac{1}{b}\cdot(-c+{\it C}\cdot b\cdot{e^{-{\frac {b}{a}\cdot x}}}\,) \end{align*}$

.

04.07.2004, 11:10

MatheBlaster

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Hi,

zum Rechenweg, den ich zugegebenermaßen im Skript nachschauen musste, der aber zum Ergebnis führt:

Du stellst die Funktion nach y' frei, und substituierst dann den rechten Teil der Gleichung durch z, also y'=z. Dann bildest Du [latex=inline]\frac{dz}{dx}[/latex] (Achtung, y=y(x)), trennst die Variablen x und z, löst die Integrale und substituierst zurück. Klingt kompliziert, geht aber recht einfach.

17.10.2004, 14:26

iammrvip

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@MSS
nicht böse sein. weil ich so viel schreibe. aber ich weiß das aus eigener erfahrung. wenn man die lösung schon mal richtig gesehen hat, geht's meist leichter.

@Cosinus
einfacher geht's über die trennung der veränderlichen:

$\begin{eqnarray*} ay' + y = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ay' = b - y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{b - y}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = -\frac{b - y}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y - b} = -\frac{dx}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left|y - b\right| = -\frac{x}{a} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y - b = e^{-\frac{x}{a}}\left(\pm e^C\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = c_1e^{-\frac{x}{a}} + b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ; c_1 = \pm e^c \end{eqnarray*}$

17.10.2004, 16:51

kikira

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} y - b = e^{-\frac{x}{a}}\left(\pm e^C\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = c_1e^{-\frac{x}{a}} + b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ; c_1 = \pm e^c \end{eqnarray*}$

Ich hab da rein interessehalber eine Frage:
Wieso kommst du da auf $\begin{eqnarray*} \pm e^C \end{eqnarray*}$ . Wieso +/-?
Hängt das mit C zusammen, weil es ja sein kann, dass C minus ist? Und wenn, dann würd das minus vom C doch bewirken, dass e in den Nenner kommt. Aso...glaub, mir ist das grad eingefallen...wenn du die rechte Seite unter ln bringst, dann wird die Multiplikation ja zur Addition und da man ja nicht weiß, ob C minus ist, muss man sich denken, dass die Division zur Subtraktion wird. Ist es das?

kiki

17.10.2004, 17:56

Mathespezialschüler

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Ich denke, es ist einfach nur der Betrag beim ln:

$\begin{eqnarray*} \ln\left|y - b\right| = -\frac{x}{a} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |y - b| = e^{-\frac{x}{a} + C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y-b=\pm e^{-\frac{x}{a}}\cdot e^C=e^{-\frac{x}{a}}\cdot (\pm e^C) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

17.10.2004, 18:14

kikira

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Stimmt...das muss es sein und unter Betrag muss man setzen, weil unter ln keine Minuszahl stehen darf....

danke MSS!
kiki

18.10.2004, 17:03

iammrvip

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich denke, es ist einfach nur der Betrag beim ln:

$\begin{eqnarray*} \ln\left|y - b\right| = -\frac{x}{a} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |y - b| = e^{-\frac{x}{a} + C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y-b=\pm e^{-\frac{x}{a}}\cdot e^C=e^{-\frac{x}{a}}\cdot (\pm e^C) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

ganz genau. ein betrag "postiviert" jede zahl. deshalb kann die konstante entweder postiv oder auch negativ sein. also muss $\begin{eqnarray*} \pm e^C \end{eqnarray*}$ scheiben, um den betrag zu entfernen.

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