direkte Summe

16.01.2007, 17:53

phoney

direkte Summe

Hi, zu folgender Aufgabe brauche ich eine Hilfestellung:

Gegeben sei der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb R} \; aller\; Abbildungen \; f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Mengen der geraden und ungeraden Funktionen auf IR sind Unterräume von $\begin{eqnarray*} R^R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} G=\{ f\in R^R:f(-x)=f(x)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U=\{ f\in R^R:f(-x)=-f(x)\} \end{eqnarray*}$

Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} R^R = G \oplus U \end{eqnarray*}$

Die direkte Summe ist ja jetzt wie folgt definiert:

I $\begin{eqnarray*} V=G+U \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} G \cap U =\{0\} \end{eqnarray*}$

Fange ich mal mit II an.

Also 0 ist ja schon einmal richtig - nach Definition? U und G sind Unterräume, somit ist die 0 enthalten.

Also ist $\begin{eqnarray*} G \cap U =\{0\} \end{eqnarray*}$
Nur schließe ich damit nicht aus, dass es noch andere Elemente gibt, die die Schnittmenge enthält. Oder doch?

Und zu I?!

Nennen wir das mal um, die gerade Funktion sei

f(x) = f(-x)

die ungeraden

g(-x) =-g(x)

Und jetzt soll gelten (Addition der letzten beiden Gleichungen)

$\begin{eqnarray*} f(x) + g(-x) = f(-x) - g(x) = R^R \end{eqnarray*}$

Damit kann ich jetzt aber nichts anfangen.

Bitte um ein paar Tipps, vielen Dank

Gruß
phoney

16.01.2007, 18:17

Leopold

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Der Trick ist derselbe wie bei den reellen Funktionen die Zerlegung der e-Funktion in eine gerade Funktion (cosinus hyperbolicus) und eine ungerade Funktion (sinus hyperbolicus):

$\begin{eqnarray*} \exp{x} = \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh{x} = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cosh{(-x)} = \cosh{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sinh{x} = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sinh{(-x)} = - \sinh{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp = \cosh + \sinh \end{eqnarray*}$

Und diesen Trick mußt du jetzt nur nachspielen. Statt $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ wählst du eine beliebige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (keine besonderen Eigenschaften). Daraus konstruierst du eine gerade Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und eine ungerade Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ (und diese Geradheit bzw. Ungeradheit mußt du auch beweisen!). Und dann mußt du noch zeigen, daß $\begin{eqnarray*} f = u + g \end{eqnarray*}$ gilt. Und damit ist $\begin{eqnarray*} V = G + U \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Und natürlich - du hast erst $\begin{eqnarray*} 0 \in G \cap U \end{eqnarray*}$ gezeigt. Von Gleichheit ist da noch keine Rede.

EDIT
Schreibfehler korrigiert

16.01.2007, 19:34

phoney

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Hallo.

Der Trick ist sehr schön.

Zitat:

Und diesen Trick mußt du jetzt nur nachspielen.

Wie soll ich das denn anstellen? Für mich wirkt das in dem Fall, als wäre das bereits per Definition so.

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) + u(x) \end{eqnarray*}$

mit g Gerade und u Ungerade

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^2+x^4+x^6+x^8+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = g(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = x+x^3+x^5+x^7+x^9+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(-x) = -u(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) + g(x) = x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+.... \end{eqnarray*}$

f(x) weder grade noch ungrade.

$\begin{eqnarray*} f = u + g \end{eqnarray*}$

Ich glaube, der Trick ist mir nicht ganz gelungen? verwirrt

Zitat:

Und natürlich - du hast erst $\begin{eqnarray*} 0 \in G \cap U \end{eqnarray*}$ gezeigt. Von Gleichheit ist da noch keine Rede.

Habe ich denn die Bedingung $\begin{eqnarray*} G \cap U =\{0\} \end{eqnarray*}$ mit der Begründung, dass G und U die Null enthalten, ausreichend gezeigt? Oder was wäre da noch zu machen? Dass keine anderen Elemente im Schnitt auftauchen?

Viele Grüße
phoney

16.01.2007, 19:59

Leopold

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Ein letzter Tip:

Schreibe

$\begin{eqnarray*} f(x) = \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = \sinh{x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt gib die Definition von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an (siehe meinen ersten Beitrag). Dabei verbiete ich dir streng Lehrer

, die Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbst zu verwenden. $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ oder Ähnliches darf als nicht mehr vorkommen.

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