normierter raum

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03.02.2012, 13:36	der hammer	Auf diesen Beitrag antworten »
normierter raum Meine Frage: gegeben ist $\begin{eqnarray} (C^0,\|\|\cdot \|\|) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|:=\int_a^b \! \|f\| \end{eqnarray}$ . Zeige: dies ist ein noermierter Raum. Meine Ideen: brauch nur hilfe beider positive definitheit: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \|f\| = \|F(x)\|\Big\|_a^b = \|F(a)-F(b)\|\geq 0 \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
03.02.2012, 14:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das Integral immer $\begin{eqnarray} \geq0 \end{eqnarray}$ ist, ist trivial, denn der Integrand $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ ist schliesslich immer $\begin{eqnarray} \geq0 \end{eqnarray}$ . Was du zeigen musst ist Folgendes: Angenommen, es ist $\begin{eqnarray} \\|f\\|=0 \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} f=0 \end{eqnarray}$ [also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die konstante Funktion Null]. Hier brauchst du die Stetigkeit. Du könntest zum Beispiel annehmen, dass es eine Stelle $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gibt derart, dass $\begin{eqnarray} f(p)\neq0 \end{eqnarray}$ .
03.02.2012, 14:28	der hammer	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort, aber ich verstehe nicht ganz...
03.02.2012, 14:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst einerseits zeigen, dass die Menge der stetigen Funktionen mit den üblichen Verknüpfungen ein Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Ich denke mal dass das schon irgendwo mal passiert ist. Dann musst du noch zeigen, dass die Vorschrift $\begin{eqnarray} f\mapsto \int\limits_a^b\|f\| \end{eqnarray}$ eine Norm definiert. Das heisst du musst die Normaxiome nachrechnen [siehe zb hier] und diese fordern zum Beispiel die von mir genannte Eigenschaft. In Worten: Falls die Norm einer Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Null ist, dann muss $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ schon die Nullfunktion gewesen sein. Und genau das musst du beweisen.
03.02.2012, 14:41	der hammer	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ok, das erste haben wir tatsächlich schon gezeigt, dann also "nur" noch die axiome. Bis gleich
03.02.2012, 14:48	der hammer	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs jetz mal so gemacht: $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|=0 \Leftrightarrow \int_a^b \! \|f\| = 0 \Leftrightarrow \|F(x)\|\Big\|_a^b = 0 \Leftrightarrow \|F(a)-F(b)\| = 0 \Leftrightarrow F(a)=F(b) \end{eqnarray}$ Es gilt bestimmt dass a ungleich b ist, also muss F konstant sein und f ist damit 0. So ok?
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03.02.2012, 16:02	pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normierter raum Nein, das könnte man nur folgern, wenn a und b beliebig wären, das geht aber aus deiner Normdefinition nicht hervor. Setz mal an wie system-agent beschreibt. Angenommen f ist nicht die Nullfunktion. Dann gibt es $\begin{eqnarray} x \in [a,b]: ~ f(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ , oBdA $\begin{eqnarray} f(x) > 0 \end{eqnarray}$ . Wegen der Stetigkeit gibt es dann $\begin{eqnarray} \epsilon>0: ~ f(y) >0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y\in [x+\epsilon,x-\epsilon] \end{eqnarray}$ Die Folgerung $\begin{eqnarray} \int_a^b \|f\|>0 \end{eqnarray}$ ist jetzt nur noch einen Katzensprung entfernt.
03.02.2012, 16:27	der hammer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normierter raum ok hmm aber es ist doch egal was a und b ist. a kann kleiner als b sein oder größer oder gleich, immer stimmt meins, wenn man die stetigkeit einsetzt?
03.02.2012, 17:28	pancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Möglicherweise reden wir hier total aneinander vorbei, aber ich sehe den Fehler darin, dass du aus F(a)=F(b) folgerst, dass F konstant ist und das ist sicherlich nicht berechtigt, wenn a und b feste Zahlen sind. Z.B. könnte ja a=-1, b=1 und F(x)=x² sein. Dann wäre F(a)=F(b) aber F nicht konstant. Du sagst, dass du die Stetigkeit einsetzt. Wo passiert das denn?

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