Normalverteilung Rendite evtl. Transformation

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pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung Rendite evtl. Transformation
Ich habe folgendes Problem : Ich weiß nicht mehr weiter bei folgender Aufgabe:

Es wird behauptet, dass das Risiko ( gemessen in der Varianz der ''logarithmierten'' Rendite) einer Anlage in Aktien oder Bonds (Anleihen) nicht dadurch verringert wird, dass über einen längeren Zeitraum investiert wird, sondern sich vergrößert (die logarithmische Rendite über mehrere Zeiträume berechnet sich als Summe der logarithmierten Renditen der Einzelzeiträume). Betrachten Sie dazu folgendes Beispiel:

Die Zufallsvariable ''logarithmierte Rendite einer Aktie (A) in einem Jahr'' sei normalverteilt mit Erwartungswert E(A) = 10 % und Standardabweichung
s(A) = 20 %.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit in einem Jahr eine Rendite von weniger als 0 bzw. weniger als -0,4 zu erzielen. (Meine Lösung: 0,3085 bzw. 0,00621)

wichtiger ist aber die b) Die Anlage in die Aktie erfolgt nun über mehrere Jahre, wobei die Renditen der einzelnen Jahre stochastisch unabhängig sind.
b1) Berechnen Sie die Anzahl der Jahre, die mindestens notwendig sind um mit der Anlage in die Aktie eine negative Rendite mit Wahrscheinlichkeit von höchstens 6,68 % zu erzielen!




Hier komme ich nicht weiter...........die normalverteilte Zufallsvariable mit t * A zu transformieren macht doch eigentlich keinen Sinn, da die Renditen unterschiedlich sind?? verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Von welcher Transformation redest du? Bei der logarithmierten Rendite über mehrere Jahre geht es um die Summe der logarithmierten Jahresrenditen, d.h., im vorliegenden Fall um die Summe unabhängig, identisch normalverteilter Zufallsgrößen...
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Naja Die Rendite über Mehrere jahre habe ich gedacht ist doch wiederum eine transformierte Zufallsvariable als Summe der anderen Renditen....??
Aber wie drücke ich das aus?? mit der Variable t zum Beispiel für die Jahre??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pivotvariable
mit der Variable t zum Beispiel für die Jahre??

Das ist doch wurst, wie du die Anzahl der Jahre bezeichnest - wichtig ist doch nur, dass du Erwartungswert und Standardabweichung der Summe richtig bestimmst.
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe mir gerade folgendes überlegt:



Falscher Weg??


oder muss ich erst das Quantil von 0,0668 bestimmen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist - die Anzahl der Jahre? Und du meinst, die Verlustwahrscheinlichkeit nach Jahren ist nicht von der Anzahl dieser Jahre abhängig? Da bist du ja auf dem völlig falschen Dampfer. unglücklich


Kommen wir daher zurück zu meiner Frage, jetzt konkretisiert: Welche Verteilung (und mit welchen Parametern) hat die logarithmierte Rendite nach Jahren?
 
 
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Naja Sie ist auf alle Fälle auch wieder normalverteilt.....

und der Erwartungswert müsste ja dann n* E(A) sein.....und die Standarabweichung kriege ich doch dann über die Wurzel von n² * Var(A) ?? Und dann?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Mit welchen Parametern für Erwartungswert und Standardabweichung?
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

und der Erwartungswert müsste ja dann n* E(A) sein.....und die Standarabweichung kriege ich doch dann über die Wurzel von n² * Var(A) ?? Und dann?


Hmmm^^ weitere Gedanken: muss man das ganze als neue Verteilung auffassen, und ist es nicht zuerst Aufgabe den Zufallsvariablenwert der Standardnormalverteilung herausfinden? Und dann irgendwie über Ungleichungen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pivotvariable
und der Erwartungswert müsste ja dann n* E(A) sein

Auch richtig, hier also .

Zitat:
Original von pivotvariable
.....und die Standarabweichung kriege ich doch dann über die Wurzel von n² * Var(A)

Falsch: Bei der Summe unabhängiger Normalverteilungen ist deren Varianz gleich der Summe der Einzelvarianzen, hier also gleich . Für die Standardabweichung bedeutet das demnach

.


Dein Fehler liegt schon in der Schreibweise: Es geht nicht um , also das -fache von ein- und derselben einjährigen Jahresrendite. Sondern um , die Summe von unabhängigen Jahresrenditen, was in der Verteilung etwas völlig anderes ist!
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir im Buch steht aber Varianz für Summen von unabhängigen Zufallsvariablen:
Var (a*X1 + .....+ d*Xn) = a²*Var(X1)+...+d²*Var(Xn) ????



Aber ja ich glaube ich habe verstanden, dass die Renditen unterschiedlich sind und gilt( Var(a1) + Var(a2)+.........=
Soweit glaube ich einverstanden zu sein und dann?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ja auch. Und jetzt setze da mal ein. Forum Kloppe
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

ist also die neue Standardabweichung?? gut.....wie gehe ich weiter vor??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt einfach die Normalverteilungsrechnung durchziehen, die kennst du doch wohl? Du hast Verteilung und willst damit



erfüllen.
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal aber jetzt muss ich doch erstmal zurück auf die Standardnormalverteilung rechnen.....wie rechne ich des zurück....(Ich habe bis jetzt immer nur vorwärts gerechnet^^)
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da noch ne Formel mit für das p_Quantil von X aus dem p-Quantil von Z (der Standardnormalverteilung)
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Bräuchte noch Hilfe^^

Ist das soweit erst mal richtig?
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich habe jetzt ein Ergebnis Freude
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du es auch nennen - zur Kontrolle? Augenzwinkern
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe sicherlich einen Rechenfehler^^ n = 9^^....??

wichtig heirbei ich habe ohne lineare Interpolation gerechnet.....by the way....wie funktioniert die....gibt es da eine Formel oder ein gleiches Schema??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

ist richtig. Freude
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

freut mich....danke smile
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