Was verstand man 1966 unter einer Halbgruppe?

03.02.2012, 19:35

mathinitus

Was verstand man 1966 unter einer Halbgruppe?

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe aus einem Staatsexamen von 1966 rumliegen.

Man soll beweisen: Eine endliche Halbgruppe, in der die Linkskürzungsregel gilt, ist eine Gruppe.
Dabei ist die Linkskürzungsregel noch einmal angegeben: $\begin{eqnarray*} ab=ac \Rightarrow b=c \end{eqnarray*}$

Ich verstehe unter einer Halbgruppe aber das, was man auch in der Wikipedia nachlesen kann. Dort gilt die zu beweisende Beziehung mit Sicherheit nicht. Auch die leere Menge bildet schließlich eine Halbgruppe.
Daher meine Frage: Was verstand man 1966 unter einer Halbgruppe?

Ich möchte keine Lösungshinweise haben, nur die Definition von Halbgruppe.

Vielen Dank!

03.02.2012, 20:28

HAL 9000

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Sag mal, hast du dir den Satz

Zitat:

Original von mathinitus
Eine endliche Halbgruppe, in der die Linkskürzungsregel gilt, ist eine Gruppe.

wirklich richtig durchgelesen? unglücklich

03.02.2012, 21:01

mathinitus

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Ich denke schon. Worauf willst du hinaus?

03.02.2012, 23:57

gonnabphd

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Hi,

Ich denke, es ist hier "Halbgruppe mit 1" gemeint.

Bloss zu fordern, dass die Menge nichtleer ist, scheint mir zu schwach zu sein (hab mal ein bisschen rumprobiert und folgendes gefunden):
Sei S eine Menge. Definiere

$\begin{eqnarray*} a\circ b := b \qquad \forall a,b\in S \end{eqnarray*}$

Diese Verknüpfung ist assoziativ und erfüllt $\begin{eqnarray*} a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c \end{eqnarray*}$ offenbar. Allerdings ist das natürlich keine Gruppe (alle Elemente sind linksneutral).

Grüsse Wink

04.02.2012, 00:02

mathinitus

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Also ist ein Monoid gemeint?

04.02.2012, 00:09

gonnabphd

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Ja, ein rechtsneutrales Element würde allerdings auch schon ausreichen (aber ich kann mir nicht vorstellen, dass jemand eine Halbgruppe definiert als Menge mit assoziativer Verknüpfung und rechtsneutralem Element). Augenzwinkern

04.02.2012, 00:27

mathinitus

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Okay. Wenn wir von einem Monoid ausgehen, ist der Beweis recht einfach.

Sei $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ . Wir wollen nun zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a^n=e \end{eqnarray*}$ . Dann hätten wir gezeigt, dass a ein Inverses hat, nämlich $\begin{eqnarray*} a^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Da M endlich ist, muss es $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} a^n=a^{n+m} \end{eqnarray*}$ .
Also haben wir $\begin{eqnarray*} a^ne=a^na^m \end{eqnarray*}$ und daraus folgt nun $\begin{eqnarray*} e=a^m \end{eqnarray*}$ .

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