Ideale im Polynomfaktorring

03.02.2012, 18:53

mathinitus

Ideale im Polynomfaktorring

Hallo,

wie kann man die Ideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/(X^3-X) \end{eqnarray*}$ bestimmen und auf Maximalität bzw. auf Primidealsein überprüfen?

Meine Ideen:

Das von $\begin{eqnarray*} X^3-X \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ist ja kein maximales Ideal, da $\begin{eqnarray*} X^3-X=(X+1)X(X-1) \end{eqnarray*}$ . Also wissen wir schonmal, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/(X^3-X) \end{eqnarray*}$ kein Körper ist. Es kann nichtmal Integritätsring sein, da das von $\begin{eqnarray*} X^3-X \end{eqnarray*}$ Ideal ja auch kein Primideal ist.

03.02.2012, 23:34

gonnabphd

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Hi,

Ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak a\subset R \end{eqnarray*}$ ein Ideal im Ring R, so entsprechen die Ideale in $\begin{eqnarray*} R/\mathfrak a \end{eqnarray*}$ in natürlicher Weise den Idealen $\begin{eqnarray*} \{\mathfrak b \subset R \mid \mathfrak a \subset \mathfrak b\} \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Betrachte den kanonischen Epimorphismus $\begin{eqnarray*} \pi: R \to R/\mathfrak a \end{eqnarray*}$

Mit dieser Korrespondenz kannst du alle Fragen über Ideale in $\begin{eqnarray*} R/\mathfrak a \end{eqnarray*}$ auf Fragen über Ideale in R zurückführen.

smile

04.02.2012, 00:46

mathinitus

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Ah, natürlich, danke.

Die Ideale, in denen $\begin{eqnarray*} (X^3-X) \end{eqnarray*}$ liegt, sind also

$\begin{eqnarray*} (X^3-X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X^2-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X^2-X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X^2+X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (X-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$

Folglich sind die Ideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/(X^3-X) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/I \end{eqnarray*}$ , wobei I die acht von oben sind. Maximale sind hier gleichbedeutend mit prim und irreduzibel, da Hauptidealring, also sind das genau die drei von Grad 1, sag ich mal Augenzwinkern

05.02.2012, 22:04

gonnabphd

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Würde ich auch so sehen.

Wink

05.02.2012, 22:20

mathinitus

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Dann herzlich Dank für deine Hilfe.

07.02.2012, 01:04

mathinitus

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Ich habe noch einmal drüber nachgedacht und so ganz klar ist mir die Sache noch nicht.

Ich habe irgendwie gemeint, es gelte folgendes:

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und A,B zwei Ideale und $\begin{eqnarray*} \pi: R \to R/A \end{eqnarray*}$ der kanonische Homomorphismus, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} A\subset B \Leftrightarrow \pi(A)\subset \pi(B) \end{eqnarray*}$

Jedoch stimmt hier nur die triviale Richtung (die von rechts nach links). Was meintest du denn dann für einen Zusammenhang mit deiner Korrespondenz?

07.02.2012, 10:04

gonnabphd

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Ich rede ja nicht über eine Korrespondenz unter allen Idealen in R mit allen Idealen in R/A, sondern nur über bestimmte Ideale in R.

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak a\subset R \end{eqnarray*}$ ein Ideal im Ring R, so entsprechen die Ideale in $\begin{eqnarray*} R/\mathfrak a \end{eqnarray*}$ in natürlicher Weise den Idealen $\begin{eqnarray*} \{\mathfrak b \subset R \mid \mathfrak a \subset \mathfrak b\} \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Betrachte den kanonischen Epimorphismus $\begin{eqnarray*} \pi: R \to R/\mathfrak a \end{eqnarray*}$

Konkreter: Ist I Ideal in R/A, dann ist $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(I) \in \{\mathfrak b \subset R \mid \mathfrak a \subset \mathfrak b, \, \mathfrak b \text{ Ideal}\}, \; \pi(\pi^{-1}(I)) = I \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} J \in \{\mathfrak b \subset R \mid \mathfrak a \subset \mathfrak b, \, \mathfrak b \text{ Ideal}\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(\pi(J))= J \end{eqnarray*}$ .

07.02.2012, 12:26

mathinitus

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Okay, aber meine Aussage war auch falsch. Die Ideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/(X^3-X) \end{eqnarray*}$ sind nicht der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/I \end{eqnarray*}$ .

07.02.2012, 14:05

gonnabphd

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Richtig. Es wären die korrespondierenden Ideale dann $\begin{eqnarray*} I/(X^3-X) \end{eqnarray*}$ . Ansonsten dürfte es allerdings stimmen.

Vielleicht solltest du noch nachprüfen, ob prime bzw. maximale Ideale in R genau zu primen bzw. maximalen Idealen in R/a korrespondieren (ich denke schon, aber genau geprüft habe ich's nicht).

smile

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