Lub-Norm

03.02.2012, 20:28	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Lub-Norm Hallo, ich hätte eine Frage zur oben genannten Norm. Wenn mir da jemand helfen könnte. Deren Definition $\begin{eqnarray} lub(A):=\max \left\{\|\|Ax\|\|:x \in \mathbb{R}^{n},\|\|x\|\|=1\right\} \end{eqnarray}$ ist klar Weniger klar ist, wie man diesen normierten Vektor x "findet". Beispiel aus einem Buch: Euklidische Norm und die Matrix A gegeben durch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{11} & 0 & 0 \\ \sqrt{11} & -10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{21}{2} & -10 \\ 0 & 0 & -10 & \frac{21}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wiederrum klar: $\begin{eqnarray} Ax = \begin{pmatrix} \sqrt{11} * x_2 \\ \sqrt{11} * x_1 -10 x_2 \\ \frac{21}{2} x_3-10 * x_4 \\ -10 * x_3 + \frac{21}{2}x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} lub_{2}(A) = \max\limits_{\|\|x\|\|_{2}=1} \sqrt{11x_{1}^2+111x_{2}^2+210.25x_{3}^2 +210.25x_{4}^{2}} \end{eqnarray}$ Die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend, also muss das unter der Wurzel maximiert werden. Wie ich den Vektor x allgemein am besten bestimme seh ich aber nicht und zwar wegen der Bedingung an unser x. (Es geht mir eben auch um das formale Zeigen, für welches normierte x das Maximum angenommen wird. Die Vermutung liegt natürliche Nahe, den 3. oder 4. Einheitsvektor zu 'nehmen')
04.02.2012, 01:07	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Für eine allgemeine Norm, kann man das nur sehr schwer beantworten. Für das von dir gegebene Beispiel: Beachte, dass in jedem Fall gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^n a_kx_k^2 \le \max_{k=1,\ldots, n}\{a_k\} \cdot \sum_{k=1}^n x_k^2 \end{eqnarray}$ Und somit in deinem Fall: $\begin{eqnarray} lub_{2}(A) = \max\limits_{\|\|x\|\|_{2}=1} \sqrt{11x_{1}^2+111x_{2}^2+210.25x_{3}^2 +210.25x_{4}^{2}} \le \sqrt{210.25} \end{eqnarray}$ deine Vermtung ist also korrekt. Für die Berechnung der Spektralnorm (2-Norm), sowie anderer Normen, siehe auch hier.

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