Stammfunktion von sin(x) * cos(3x)

04.02.2012, 09:54	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
*Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** Hallo zusammen, ich weiß einfach nicht, wie ich diese scheinbar einfache Aufgabe lösen soll. Mit Produktintegration lande ich in einer Endlosschleife bzw ich bekomme kein Integral auf der rechten Seite, welches ich auf die linke Seite bringen könnte. Substitution ist nicht möglich, da keins von beidem eine Abteilung vom anderen ist. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie man diese Aufgabe lösst? Hier nochmal anschaulicher: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! sin(x) cos (3x) \, dx \end{eqnarray}$
04.02.2012, 10:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** Man kann hier vorteilhaft eine trigonometrische Identität für $\begin{eqnarray} \sin \alpha \cdot \cos \beta \end{eqnarray}$ benutzen.
04.02.2012, 10:48	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** puhh da gibts ja einige ... benutzt man diese schon vor der partiellen integration?
04.02.2012, 11:08	krababbel	Auf diesen Beitrag antworten »
wikipedia (Trigonometrie_Formelsammlung#Produkte_der_Winkelfunktionen) meint $\begin{eqnarray} \sin(x)\cdot\cos(y)=\frac{1}{2}\left(\sin(x-y)+\sin(x+y)\right) \end{eqnarray}$ damit ists ein Einzeiler.
04.02.2012, 11:10	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** Mir fällt da nur eine ein: $\begin{eqnarray} \sin \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha -\beta)+\sin (\alpha + \beta)) \end{eqnarray}$ Und danach braucht man keine partielle Integration.
04.02.2012, 11:34	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** ich fürchte diese Definition gibt mein Script leider nicht her -.- ... dann muss man es wohl auf die brutale weise machen. Ich hab versucht die Additionstherme anzuwenden: $\begin{eqnarray} cos(x + 2x) = cos(x)cos(2x) - sin(x)sin(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(x + x) = 2cos^2(x) - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin (x + x) = 2sin(x)cos(x) \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} cos(x + 2x) = cos(x)(2cos^2(x) - 1) - sin(x)(2sin(x)cos(x)) \end{eqnarray}$ Ich bin mir leider noch absolut nicht sicher mit den Rechenregeln ... sieht das Ergebnis dann so aus? : $\begin{eqnarray} cos(x + 2x) = 2cos^3(x) - cos(x) - (2sin^2(x)cos(x)) \end{eqnarray}$ und hab ich davon überhaupt was ?
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04.02.2012, 11:39	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion von sin(x) cos(3x)** Wenn du die Additionstheoreme hast, kannst du mit ihnen doch obige Beziehung für $\begin{eqnarray} \sin \alpha \cdot \cos \beta \end{eqnarray}$ beweisen, in dem du sie auf die rechte Seite anwendest. Danach kannst du die Beziehung verwenden.

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