Termumformung bei Grenzwertberechnung

04.02.2012, 11:33

rawfood

Termumformung bei Grenzwertberechnung

Hallo Leute,

Ich habe Umformungsschwierigkeiten und wende mich mit meinen Problemen ans Algebra Forum obwohl die eigentliche Aufgabe wohl mehr in die Analysis gehört.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-1}=\lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\frac{1}{2}}\bigg) \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Kann es nicht nachvollziehen, wieso der Zähler von a/b um eine Potenz steigt, wenn ich im Nenner durch a/b teile.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\bigg(2\cdot \frac{1^n}{2^n}\bigg)=\lim_{n \to \infty}\bigg( \frac{2}{2^n}\bigg) \end{eqnarray*}$
Hier verstehe ich nicht warum, sich der Exponent im Zähler auflöst. Ich vermute es liegt einfach daran, dass die Basis 1 n mal mit sich selbst multipliziert wieder 1 ergibt.

Ist es eigentlich erlaubt, wenn ich den Grenzwert suche den Zähler mit dem Nenner zu multiplizieren, um auf diese Weise den Nenner verschwinden zu lassen?
Z.b. $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{1+n}] \end{eqnarray*}$ Wenn ich die Aufgabe so lasse, konvergier ich gegen 1. Würde ich den Zähler mit dem Nenner multiplizieren und so den Nenner wegfallen lassen, dann konvergiert mein n doch gegen unendlich. Oder habe ich einfach einen Denkfehler?

Was ist eigentlich, wenn der Zähler sowie Nenner gegen unendlich gehen? Kürzt sich da quasi das unendlich weg, und es konvergiert gegen eins? So wie sich zum Beispiel 5 im Zähler und 5 im Nenner zu 1 kürzen lassen würde?

Danke schonmal für eure Hilfe.

Lg
Rawfood

04.02.2012, 11:46

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Termumformung bei Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von rawfood
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-1}=\lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\frac{1}{2}}\bigg) \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Kann es nicht nachvollziehen, wieso der Zähler von a/b um eine Potenz steigt, wenn ich im Nenner durch a/b teile.

Das sind elementare Potenzgesetze.

$\begin{eqnarray*} a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von rawfood
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\bigg(2\cdot \frac{1^n}{2^n}\bigg)=\lim_{n \to \infty}\bigg( \frac{2}{2^n}\bigg) \end{eqnarray*}$
Hier verstehe ich nicht warum, sich der Exponent im Zähler auflöst. Ich vermute es liegt einfach daran, dass die Basis 1 n mal mit sich selbst multipliziert wieder 1 ergibt.

Ja, daran liegt es. 1^n ergibt immer 1, da kann man das n auch weglassen.

Zitat:

Original von rawfood
Ist es eigentlich erlaubt, wenn ich den Grenzwert suche den Zähler mit dem Nenner zu multiplizieren, um auf diese Weise den Nenner verschwinden zu lassen?

Wieso sollte das erlaubt sein? Du kannst einen Bruch erweitern, aber nicht einfach verändern. Wenn du irgendwas in den Zähler reinmultiplizierst, musst du das selbe auch im Nenner machen.

Zitat:

Original von rawfood
Was ist eigentlich, wenn der Zähler sowie Nenner gegen unendlich gehen?

Dann muss man weiterschauen und gegebenenfalls durch Umformungen versuchen, eine Darstellung zu gewinnen, bei der eine Aussage möglich ist. Unendlich gegen unendlich kürzen ist jedenfalls nicht erlaubt. "Unendlich" ist keine Zahl, damit kann man nicht so einfach rumrechnen.

04.02.2012, 16:12

rawfood

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mulder!!!!!!! Das war sehr hilfreich. Den Hauptnenner kann man nicht so einfach wegmultiplizieren. Das ist mir klar geworden, als ich mich damit gedanklich beschäftigt habe. Sind die folgenden Umformungsschritte eigentlich legitim?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{3^n}{4^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{(\frac{3}{3})^n}{(\frac{4}{3})^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{(\frac{4}{3})^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mich beim aufschreiben damit beschäftigt, und habe mir quasi selbst die Antwort gegeben. Das ist meiner Meinung nach korrekt so smile

04.02.2012, 16:16

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt soweit. Kann man auch so sehen:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{3}{4} \right )^n = \left ( \frac{4}{3} \right )^{-n} \end{eqnarray*}$

04.02.2012, 17:01

rawfood

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp. Mit negativen Exponenten kann ich nicht so gut umgehen. Auch wenn mir klar ist, dass $\begin{eqnarray*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich bin jetzt gerade beim Thema Schranken, und möchte dafür unter Analysis nicht unbedingt einen neuen Thread eröffnen, in der Hoffnung, trotzdem hier HIlfe zu bekommen.

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1}=\frac{-1^n}{-1}=1 \end{eqnarray*}$ , für n = 2k+1

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1}=\frac{-1^n}{-1}=-1 \end{eqnarray*}$ , für n = 2k

Meine Folge kann nur zwei Werte annehmen. 1 und -1, falls ich richtig umgeformt habe. Aber wie notiere ich nun richtig, dass ich zwei Schranken habe?

04.02.2012, 17:12

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie, "Schranken"? Was genau möchtest du machen? Zeigen, dass die Folge nicht konvergiert?

04.02.2012, 17:18

rawfood

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Abschnittsthema auf dem Arbeitsblatt sind Schranken. Allerdings seh ich gerade, dass es sich hier wie im Beispiel um eine alternierende Folge handelt. Daher konvergiert die Folge nicht. Entschuldigung.

04.02.2012, 17:23

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kann man so machen.

04.02.2012, 17:57

rawfood

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gerade verwirrt. Eine konvergente Folge, also Folge mit Grenzwert ist immer beschränkt. Aber eine beschränkte Folge hat nicht immer einen Grenzwert. Dazu habe ich folgende Aufgabe mit der ich mich gerade beschäftige:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-1-n}=\frac{-1}{1+n} \end{eqnarray*}$ Für n gegen unendlich konvergiert diese Folge gegen 0. Ist dies auf den Fall bezogen, dass eine beschränkte Folge keinen Grenzwert haben muss? Also ist mit keinem Grenzwert der Fall gemeint, dass die Folge gegen 0 konvergiert?

04.02.2012, 18:11

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Jede konvergente Folge ist beschränkt, ja.

Aber eine beschränkte Folge muss nicht zwingend konvergent sein. Das zeigt das Beispiel

$\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$

ja sehr anschaulich.

Ist eine Folge beschränkt und ZUDEM monoton (steigend oder fallend), dann konvergiert sie.

04.02.2012, 18:19

rawfood

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ein zweites Problem. Wenn man eigentlich zeigen muss, dass eine Sinusfunktion beschränkt ist. Wie macht man das Formal korrekt? Naiv ohne große Kenntnisse zu haben, würde ich meinen, dass die obere Schranke 1, und die untere Schranke -1 ist. Im Grunde heißt, dass doch aber auch, dass eine Sinusfunktion nicht konvergiert. Ich glaube, dass ist mit dem Satz gemeint, eine Folge kann beschränkt sein, ohne einen Grenzwert zu haben. Bin für jede Gedankenstütze dankbar.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sin(\frac{n}{2}\cdot\pi) \end{eqnarray*}$

lg
rf

Edit: Danke Mulder, hab jetzt nachdem letzten Beitrag deinen Beitrag gesehen. Ich denke ich habe das Thema jetzt ganz gut verstanden. smile

MIr ist während der Sinusaufgaben auch klar geworden, was damit gemeint war, was ich im vorigen Post erfragt habe.

Neue Frage »

Antworten »

Termumformung bei Grenzwertberechnung

Verwandte Themen