Grenzwert von Folgen

04.02.2012, 14:51

Biene008

Grenzwert von Folgen

Meine Frage:
Hallo,

könntet ihr mir vllt helfen die Grenzwerte von den 2 Folgen zu berechnen. Ich steh nämlich voll auf den Schlauch. Das wäre sehr Hilfreich =)

1. sqrt(n^4+3)/(10n)
2.2^n/n!

vielen Lieben Dank euch

Meine Ideen:
Sandwich- Lemma?

04.02.2012, 16:19

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen
ja, dein Vorschlag mit dem Sandwich-Lemma ist mind bei 2. genau richtig.

zu 1. : den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^4+3} }{10n} \end{eqnarray*}$ geeignet nach unten abschätzen

2. es gilt $\begin{eqnarray*} 0 \le \frac{2^n}{n!} = 2\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdot\, ... \,\cdot\frac{2}{n}\right) \end{eqnarray*}$

siehst du nun, wie du die Faktoren rechts in der Klammer nach oben abschätzen kannst?

04.02.2012, 17:19

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
vielleicht mit 2/n ??? das habe ich mich auch gefragt aber das ist doch dann nicht größer als 2^n/n!
und bei der 1. Also um nach unten abzuschätzen muss ich doch den nenner größer machen oder den Zähler kleiner oder?

04.02.2012, 19:13

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Biene008
vielleicht mit 2/n ???

nein - welcher Faktor in der Klammer ist denn am grössten?

Zitat:

und bei der 1. Also um nach unten abzuschätzen muss ich doch den nenner größer machen oder den Zähler kleiner oder?

ja, wobei es hier genügt, nur den Zähler kleiner zu machen

04.02.2012, 19:31

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
Also hier wären jetzt meine Lösungsvorschläge:

Bei der 1.
Würde ich nach unten abschätzen, in dem ich in der Wurzel die 3 weglasse. Dann hätte ich nach dem wurzelziehen da stehen 1/10n und das ist divergent? aber das ist eine Folge, das reicht doch dann nicht als aussage oder??? oder geht das auch mit sandwich lemma???

und bei 2.

würde ich 4/n als obere grenze nehmen???

04.02.2012, 19:46

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Biene008
Bei der 1.
Würde ich nach unten abschätzen, in dem ich in der Wurzel die 3 weglasse. Dann hätte ich nach dem wurzelziehen da stehen 1/10n und das ist divergent?

richtig, du hast dann also

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^4+3}}{10n} \ge \frac{n}{10} \end{eqnarray*}$

und wegen $\begin{eqnarray*} n/10 \to\infty \end{eqnarray*}$ folgt ....

Zitat:

und bei 2.

würde ich 4/n als obere grenze nehmen???

keine Ahnung, wie du darauf kommst. Wir haben ja $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \, .... \, ,\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ , und welche Zahl davon ist die grösste?

04.02.2012, 20:11

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
Also es muss ja gegen null konvergieren und da bleibt ja nur 2/n oder??? mich stört dabei nur das 2/n nicht größer ist als 2^n/n!

04.02.2012, 20:50

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen

Zitat:

Original von Biene008
Also es muss ja gegen null konvergieren und da bleibt ja nur 2/n oder???

was heisst es bleibt nur 2/n ??

Sind allgemein $\begin{eqnarray*} a_1,\dots,a_k \end{eqnarray*}$ positive Zahlen und ist $\begin{eqnarray*} a=\max\{a_1,\dots,a_k\} \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Produkt

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot ...\cdot a_k \le a^k \end{eqnarray*}$

Das wird dir doch bekannt sein.

04.02.2012, 21:04

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
Also ist die obere Grenze 2^n????

04.02.2012, 21:25

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen
das würde uns nichts bringen, da ja $\begin{eqnarray*} 2^n\to\infty \end{eqnarray*}$

der grösste Faktor in der Klammer ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , und somit ist das Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\, ... \, \cdot\frac{2}{n}\le \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \end{eqnarray*}$ (es sind n-2 Faktoren)

insgesamt also $\begin{eqnarray*} 0\le \frac{2^n}{n!}\le 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry, deine Version mit 2/n ist auch richtig - du hast einfach alle anderen Faktoren der Klammer durch 1 abgeschätzt, das geht auch so -da habe ich zuwenig aufgepasst!

04.02.2012, 22:00

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
okay,

aber mein Problem ist das 2/n nicht größer ist als 2^n/n!. deswegen dachte ich an 4/n das wäre nämlich größer. wäre das auch richtig?

04.02.2012, 22:09

ThomasL

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RE: Grenzwert von Folgen
ja, man erhält dann 4/n als obere Schranke (denn die Klammer alleine ist $\begin{eqnarray*} \le 2/n \end{eqnarray*}$ , und man hat noch den Faktor 2 davor)

05.02.2012, 19:17

Biene008

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RE: Grenzwert von Folgen
Aber die 0 darf ich als unteren wert ohne Problem nehmen oder????

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Grenzwert von Folgen

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