Dimension einer affinen ebenen Kuve

04.02.2012, 16:16

nore

Dimension einer affinen ebenen Kuve

Hallo zusammen,

ich hoffe mal, ich habe hier das richtige Forum erwischt. Es geht um algebraische Geometrie.

ich hänge schon seit einigen Stunden an einem Problem: Ich will zeigen, dass eine abgeschlossene Untervarietät von $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ , (ich glaube man nennt das auch abgeschlossene quasi-affine Varietät) genau dann Dimension 1 hat, wenn es eine affine ebene Kurve ist.
Dazu steht mir zur Verfügung:

1) Die Dimension einer (quasi-) affinen Varietät $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist definiert als der Transzendenzgrad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} k(V)/k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der algebraisch abgeschlossene Körper der konstanten Funktionen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k(V) \end{eqnarray*}$ die rationalen Funktionen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{A} \end{eqnarray*}$ sind.

2) Eine abgeschlossene Untervarietät von $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ hat genau dann Dimension 0, wenn sie ein Punkt ist.

3) Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} dim(\mathbb{A}^2) = 2 \end{eqnarray*}$ .

4) Jede algebraisch abgeschlossene Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ ist entweder endlich oder eine affine ebene Kuve oder ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ .

Das einzige, was also noch fehlt ist folgendes:
Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine affine Kurve, dann ist $\begin{eqnarray*} dim(V)\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Oder:
Ist $\begin{eqnarray*} dim(V)=2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} dim(V) = \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe habe ich aus dem Buch "Algebraic Curves" von William Fulton. Kapitel 6, Proposition 10.(5).

Als Lösung steht dort:

Assume $\begin{eqnarray*} V \subseteq \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ . Since $\begin{eqnarray*} k(v) = k(x,y) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} dim(V) \end{eqnarray*}$ must be 0, 1 or 2. So $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ is either a point, a plane curve $\begin{eqnarray*} V(P) \end{eqnarray*}$ or $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ . If $\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0, tr.deg_k(k(x,y)) \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Then the result follows.

Aber irgendwie verstehe ich nicht, was damit gemeint ist.

Danke im Vorraus für eure Antworten.

Gruß
David

04.02.2012, 17:31

galoisseinbruder

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Hallo,

eine quasi-affine/projektive Varietät ist eine offene Teilmenge einer affinen/projektiven Varietät.
Das V hier ist schlicht eine affine Varietät.

Zitat:

If $\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0, tr.deg_k(k(x,y)) \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Then the result follows.

Es ist $\begin{eqnarray*} F\in k[X,Y] \end{eqnarray*}$ . F(x,y)=0 ergibt eine "Abhängigkseitsgleichung" von x und y.
k(x,y) ist algebraisch über k(x) bzw. k(y) da F(x,Y)=0 bzw. F(X,y)=0 Ganzheitsgleichungen für x bzw. y sind. Also $\begin{eqnarray*} tr.deg_{k}(k(x,y))=tr.deg_k(k(x))=tr.deg_k(k(y))\leq 1 \end{eqnarray*}$

04.02.2012, 20:44

nore

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Hallo galoissenbruder,

vielen Dank für deinen Beitrag.

Zitat:

Original von galoisseinbruder
...
eine quasi-affine/projektive Varietät ist eine offene Teilmenge einer affinen/projektiven Varietät.
Das V hier ist schlicht eine affine Varietät.

Danke, mir war bisher nicht so richtig bewusst, dass mit "closed subvariety of A^2" einfach eine affine Varietät gemeint ist.
Es ist also aber richtig, dass jede affine/projektive Varietät auch quasiaffine/quasiprojektive Varietät ist, weil sie als Teilmenge von sich selbst betrachtet offen ist, oder?

Zitat:

If $\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0, tr.deg_k(k(x,y)) \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Then the result follows.

Das heißt, damit k(x,y) algebraisch über k(x) ist, reicht es, dass y algebraisch über k(x) ist? Wie kann ich mir das klarmachen?

Gruß
David

05.02.2012, 07:37

galoisseinbruder

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Zitat:

Es ist also aber richtig, dass jede affine/projektive Varietät auch quasiaffine/quasiprojektive Varietät ist, weil sie als Teilmenge von sich selbst betrachtet offen ist, oder?

Es ist richtig.

Zitat:

Das heißt, damit k(x,y) algebraisch über k(x) ist, reicht es, dass y algebraisch über k(x) ist? Wie kann ich mir das klarmachen?

k(x,y)/k(x) ist eine einfache Erweiterung, das primitve Element ist algebraisch, also ist die Erweiterung endlich und damit algebraisch.

05.02.2012, 11:07

nore

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Hallo galoisseinbruder,

danke für deine Hilfe.

Gruß
David

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