Lotfußpunkt auf eine Ebene in Koordinatenform

04.02.2012, 17:47	JoeBlack85	Auf diesen Beitrag antworten »
Lotfußpunkt auf eine Ebene in Koordinatenform Meine Frage: Hallo, ich muss den lotfußpunkt einer geraden und Ebende bestimmen. Die Ebene ist in Koordinatenform gegeben: $\begin{eqnarray} 2 x_{1} + 3* _{2} - x_{3} = 1 \end{eqnarray}$ Daraus bastelt ich mal die Parameterform: Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} - 2 x_{1} = + 3* _{2} - x_{3} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} = \frac{3x_{2}}{2} -\frac {x_{3}}{2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} = \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} = \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} = \frac{3\gamma }{2} -\frac {\lambda} {2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} = \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} = \lambda \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann die Parameterform $\begin{eqnarray} E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} \frac{3 }{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac {1} {2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Kreufprodukt der Richtungsvektoren: $\begin{eqnarray} \vec{n} = < \vec{a} x \vec{b} > = \begin{pmatrix} - \frac{3 }{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} - \frac {1} {2} \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2}\\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Normalenform der Ebene: $\begin{eqnarray} (\vec{x} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2}\\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Noch die Normalenform der Geraden mit dem Kreuzprodukt der Ebene: $\begin{eqnarray} \vec{z} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 1 \\ \frac {3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann setze ich für diese Form für x in die Normalenform der Ebene ein und berechne r: $\begin{eqnarray} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 1 \\ \frac {3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2}\\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \vec{r} = - \frac {5}{8} \end{eqnarray}$ Das setzte ich dann in die Zusammensetzung aus der Normalenform der Ebende und der Gerade ein und berechne den Schnittpunkt: $\begin{eqnarray} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac {5}{8} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac {3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2}\\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{24} \\ \frac{33}{52}\\ - \frac{1}{52} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen ob das evtl. richtig ist oder was ich falsch mache? Wir haben das Thema nur kurz angeschnitten und mein Abi ist scon 6 Jahre her. Daher tue ich mir hier etwas schwer! Danke!
05.02.2012, 00:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Was bedeutet "Ebende"? Du schreibst dies mehrere Male (aus dem Titel habe ich es korrigiert), also kann das kein Schreibfehler mehr sein .. 2. Lotfußpunkt welcher Geraden? Üblicherweise sollte nur ein Punkt gegeben sein ((1; 1; 1) geraten, ?). Wieder einmal ist die Angabe unvollständig bzw. nicht im Originalwortlaut. Der Umweg über die Parameterform ist unnötig, denn in der Koordinatengleichung sieht man bereits den Normalvektor. Ein bisschen mehr Sorgfalt bei der Themenerstellung, das erleichtert die Hilfestellung für beide Seiten, an der du doch sicher interessiert bist! mY+

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