char. Funktion

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04.02.2012, 18:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
char. Funktion Meine Frage: Im diskreten Fall ist die char. Funktion ja definiert als $\begin{eqnarray} \varphi_{X}(t)=\sum_{k=1}^{\infty}e^{itx_{k}}P(X=x_k) \end{eqnarray}$ Was ich nicht ganz verstanden habe: Wieso geht der Summationsindex bis unendlich? Zum Beispiel bei der Geometrischen Verteilung geht die Summe bei dieser Berechnung tatsächlich bis unendlich (da benutzt man ja dann, daß es sich um eine harmonische Reihe handelt), aber bei der Binomialverteilung geht die Summe bei der der Berechnung der char. Funktion ja nur bis n und man benutzt den binomischen Lehrsatz. Wieso steht also in der allgemeinen Definition da das unendlich? Meine Ideen: ... Hoffentlich versteht ihr meine Frage. Ich weiß nicht, genau, wie ich sie präziser stellen kann.
04.02.2012, 19:05	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Wie habt ihr eure $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ denn definiert?
04.02.2012, 19:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Die Definition stammt aus der Wikipedia: "charakteristische Funktion" Dort heißt es: Ist F diskrekt mit Sprungpunkten $\begin{eqnarray} \left\{x_1,x_k,...\right\} \end{eqnarray}$ , dann...
04.02.2012, 19:13	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Ja, und wenn F nur $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ viele Sprungpunkte hat, dann ist eben $\begin{eqnarray} P(X=x_k)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k>n \end{eqnarray}$ Also hast du im Endeffekt nur eindlich viele Summanden: $\begin{eqnarray} \varphi_{X}(t)=\sum_{k=1}^ne^{itx_{k}}P(X=x_k) \end{eqnarray}$ Schau dir mal das Beispiel mit der Binomialverteilung an.
04.02.2012, 19:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Aber z.B. bei der geometrischen Verteilung hat man doch auch nicht immer unendliche viele Sprungstellen?
04.02.2012, 19:16	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Das stimmt nicht, die geometrische Verteilung hat unendlich viele Sprungstellen. Was heißt hier "nicht immer"?
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04.02.2012, 19:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Ich verstehe das nicht so genau... die geometrische Verteilung ist doch eine diskrete Verteilung. Wenn man jetzt $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ iid geometrisch verteilte Zufallsvariablen hat, wieso hat man dann unendlich viele Sprungstellen?
04.02.2012, 19:32	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: char. Funktion Wir betrachten aber nur eine geometrisch verteilte Zufallsvariable und bestimmen dann deren charakteristische Funktion. Hast du dir mal die Verteilungsfunktion einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen angesehen? Die Sprungstellen sind genau an den Stellen, wo die Zähldichte echt positiv ist, also bei allen Elemetarereignissen, also auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ sind nur die Ausprägungen der Zufallsvariablen, das sind seibst keine Zufallsvariablen.
04.02.2012, 19:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... man schaut sich den Träger an... Bei der Binomialverteilung ist er $\begin{eqnarray} \left\{0,...,n\right\} \end{eqnarray}$ , deswegen geht die Summe (bei der char. Funktion) dann eben nur bis n bzw. sie wird null, wenn der Summationsindex größer als n wird. Bei der geometrischen Verteilung (oder z.B. auch bei der Poissonverteilung) geht das eben bis unendlich. Ach, jetzt kapier ich das glaube ich. Der Träger ist quasi das Entscheidende.
04.02.2012, 19:38	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, du summierst nur über den Träger, und der Träger ist die Sprungstellenmenge der Verteilungsfunktion.
04.02.2012, 19:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gleiche gilt doch für die Momentenerzeugende Funktion? (Ist doch quasi die gleiche Rechnung, nur, daß man da $\begin{eqnarray} e^{tx_k} \end{eqnarray}$ stehen hat in der Summe und nicht $\begin{eqnarray} e^{itx_k} \end{eqnarray}$ ? (Die $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ wieder aus dem Träger.)
04.02.2012, 20:22	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

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