Körper

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Frau Schmidt Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hallo zusammen!

Ich lese in meinem Mathebuch den Satz:
Die Menge R ist ein vollständig angeordneter Körper, die Menge Q dagegen ist nur ein angeordneter Körper.

Was bedeutet das?
Habt ihr vielleicht ein Beispiel?

Was ist dann die Menge von Z und die Menge von N?

lg
Frau Schmidt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

und bilden so erstmal keine körper. der unterschied zwischen und besteht im vollständigkeitsaxiom, welches garantiert, dass jede cauchyfolge in einen grenzwert hat. bei den rationalen zahlen muss dies lange nicht so sein, denke dabei nur mal an die konstruktion von durch die intervallschachtelung. die intervalle liegen immer in , der grenzwert jedoch nicht.

angeordnet heisst salopp gesagt, dass es die unterscheidung zwischen grösseren und kleineren elementen gibt (was beispielsweise in so gar nicht der fall ist)


schau vielleicht auch hier
Frau Schmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Mmhh... das mit Q und R stimmt. Das verstehe ich ,glaub ich jedenfalls...

Aber warum N und Z keine Körper sind ist mir immer noch ein Rätsel.. verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

damit eine menge mit zwei definierten verknüpfungen "+" und "x" ein körper ist, müssen gewisse axiome erfüllt sein (die findest du auf der wikipedia seite). für die natürlichen und die ganzen zahlen sind diese eben nicht alle erfüllt, also bilden die auch keine körper
Frau Schmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn Verknüpfungen?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frau Schmidt
Mmhh... das mit Q und R stimmt. Das verstehe ich ,glaub ich jedenfalls...

Aber warum N und Z keine Körper sind ist mir immer noch ein Rätsel.. verwirrt


@Frau Schmidt: Du brauchst dir doch nur mal eine Operation auf den natürlichen Zahlen zu betrachten. Nehmen wir mal . Dann musst du zeigen, dass die Menge der natürlichen Zahlen bzgl eine abelsche Gruppe ist.
(i) Assoziativgesetz ist klar!
(ii) Neutrales Element ist , denn für alle gilt:
(iii) Inverse Elemente: zu zeigen


Was soll dieses sein??? Das gibt es einfach nicht.
Beispiel: die natürliche Zahl Welche Zahl brauchen wir, damit

ist??? Richtig. Ganze Zahlen.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frau Schmidt
Was sind denn Verknüpfungen?


Weißt du übrehaupt was eine Gruppe ist???

Definition: Eine Gruppe ist ein Paar , bestehend aus einer Menge und einer Verknüpfung

,


sodass die Gruppenaxiome erfüllt sind. (Genannt: Gruppenmultiplikation)
Frau Schmidt Auf diesen Beitrag antworten »

nie gehört unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

wie gesagt, damit eine menge bzgl zwei definierten verknüpfungen einen körper bildet müssen bestimmte axiome erfüllt sein (siehe wikipedia)

eine verknüpfung ist hierbei einfach ein anderer name für abbildung und zwar für eine abgeschlossene.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frau Schmidt
nie gehört unglücklich


OK, anscheinend brauchen wir in der Richtung gar nicht weiter reden, da die Grundkenntnisse über Körper- und Gruppentheorie gar nicht da sind. Wenn du aber deine ursprüngliche Frage "Warum sind und keine Körper?" beantwortet haben möchtest, musst du dich damit auseinandersetzen - Algebra.
Ferner solltest du erstmal wissen, was denn ein Körper im mathematischen Sinn ist, bevor du die Frage stellst!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke dann kann man wenigstens (wenn auch äusserst ungenau und unpräzise) eine einfache antwort geben:
ein körper ist eine menge, in der du rechnen kannst, wie du es gewöhnt bist und das ohne nennenswerte einschränkungen. in hat beispielsweise keine gleichung eine lösung, bei der du mehr von einer natürlichen zahl abziehst, als ihr betrag. in hat keine gleichung eine lösung, deren division nicht den rest null ergibt.
das bedeutet du kannst nicht uneingeschränkt rechnen. mit den rationalen, reellen und komplexen zahlen geht das aber (von einigen kleinen problemen wie beispielsweise und abgesehen.)


natürlich ist das äusserst unpräzise (an die andren: bitte nicht schimpfen Augenzwinkern )
Frau Schmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch!

Ja.. einen kleinen Anhaltspunkt habe ich jetzt! *freu*
Und mit dem Thema mus ich mich wohl wirklich mal genauer auseinanderstezen....
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