Mit Bisektionsverfahren Supremum nachweisen

04.02.2012, 21:08	FerriZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Bisektionsverfahren Supremum nachweisen Ich habe mal versucht einen Beweis aus der Vorlesung für das Infimum einer Menge auf das Supremum zu übertragen. Aufgabe: Mit "geeignetem" Bisektionsverfahren ist zu zeigen, dass gilt: Ist $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt, so hat $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein Supremum. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nach oben beschrenkt, $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ eine obere Schranke und $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} a=y, b=d \end{eqnarray}$ Pseudo-Code: $\begin{eqnarray} while(true) do:<br /> <br /> c=\frac{a+b}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} if( \; M \cap \; ]c,b]=\varnothing \; )<br /> then \; b=c<br /> else \; a=c \end{eqnarray}$ Behauptung x ist sup(M) Denn wenn $\begin{eqnarray} a_0 \le a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \le x \le b_n \le b_{n-1} \end{eqnarray}$ die Folge der Intervallenden ist, so ist $\begin{eqnarray} ]b_n , \infty [ \; \cap \; M = \varnothing \end{eqnarray}$ für alle n. und wegen $\begin{eqnarray} 0 \le b_n - x \le b_n - a_n \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} ]x , \infty [ \; \cap \; M = \varnothing \end{eqnarray}$ also ist x obere Schranke. Nach Konstruktion ist $\begin{eqnarray} [a_n , b_n ] \; \cap \; M \neq \varnothing \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} [x, b_n [ \; \cap \; M = \varnothing \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} [a_n , x ] \; \cap \; M \neq \varnothing \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \le x - a_n \le b_n - a_n \end{eqnarray}$ also ist x die kleinste obere Schranke also das Supremum. Für mich wäre jetzt interessant: Sind meine Folgerungen schlüssig und habe ich die Intervallschreibweise richtig verwendet? Und kann ich mir auf einen (unnumerierten) Zahlenstrahl die Menge M und die Intervallgrenzen einmalen um es mir besser vorstellen zu können, oder könnte ich damit bei bestimmten Aufgaben Schiffbruch erleiden?

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